Les Nombres Complexes

[Reyana S]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice sur les nombres complexe, je n'ai pas réussi a faire grand chose :/ .
Voici l'énoncé de l'exercice :

Pour la première question afin d'exprimer les parties réelle et imaginaire de z' je multiplie par z-2i (= x+iy-2i) au numérateur et dénominateur mais je n’aboutis a rien ...

J'aurai besoin d'un peu d'aide s'il vous plait :) ?

[sos-math(22)]

Bonjour,
C'est tout à fait normal : tu n'as pas la bonne méthode. Tu dois remplacer z par x+iy :
\(z^{,}=\frac{z-2+i}{z+2i}=\frac{x+iy-2+i}{x+iy+2i}=\frac{x-2+i(y+1)}{x+(y+2)i}\)
Ensuite, tu multiplies numérateur et dénominateur par le conjugué de \(x+(y+2)i\).
Bonne continuation.

[Reyana S]

Mercii :)
En multipliant par le x-(y+2)i je trouve :
\(z^{,}=\frac{(x-2+i(y+1))(x-(y+2)i)}{(x+(y+2)i)(x-(y+2)i)}=\frac{x^2+y^2-2x+3y+2 + i(y+2)(-x+2)}{x^2+(y+2)^2}\)

? je n'arrive pas a trouver la partie imaginaire :/

[sos-math(22)]

Il manque une partie :

\(z^{,}=\frac{(x-2+i(y+1))(x-(y+2)i)}{(x+(y+2)i)(x-(y+2)i)}=\frac{x^2+y^2-2x+3y+2 + i(y+2)(-x+2)+ix(y+1)}{x^2+(y+2)^2}\)

Bonne continuation.

[Reyana S]

A Oui vous avez raisonnn quel erreur !

Mercii

Ensuite pour la 2)a)L'ensemble E des points M d'affixe z tel que z' est un réel
C'est-a-dire que La parti imaginaire est nul on a donc:

\(z^{,}=\frac{x^2+y^2-2x+3y+2}{x^2+(y+2)^2}\)
Doit-on trouver les valeurs de x et y ? comment procéder pour cette questions S'il vous plait ?

[sos-math(22)]

On considère un nombre complexe \(z\) distinct de \(-\)\(2i\).

Cela est important de bien penser que \(z\) distinct de \(-\)\(2i\).

Ensuite :

\(z^{,}\) est réel \(\Leftrightarrow\)\(Im(z^{,})=0\) \(\Leftrightarrow\)\(-\)\(x+2y+4=0\)

Ensuite, tu vas obtenir une droite de laquelle il faudra enlever un point.

Bonne continuation.

[Reyana S]

Donc on obtient une droite d'équation :
\(y=\frac{-x}{2}+2\)

Et A d'affixe -2i A(0;-2)
On obtient la droite \(y=\frac{-x}{2}\)?

On fait -2 ?

[sos-math(22)]

Attention, réfléchis et reprends la fin de cette question par toi-même.

[Reyana S]

Oops encore une faute idiote :/

L'équation est donc
\(y=\frac{x}{2}-2\)

Et l'ordonné a l'origine de la droite est confondu avec le point A
Donc ? il Faut soustraire l'ordonné du point A ?
\(y=\frac{x}{2}-2-(-2)=\frac{x}{2}\)

Ou l'ajouter ?
\(y=\frac{x}{2}-2-2=\frac{x}{2}-4\)

[sos-math(22)]

Ni l'un ni l'autre. Il s'agit bien de la droite dont tu as trouvé l'équation. Quand on dit qu'il faut enlever le point A, cela signifie qu'il doit être retiré graphiquement. On obtient ainsi une droite moins un point.

[Reyana S]

Humm D'accord
Donc on fait pareil avec La question 2)b) on a z' imaginaire pur donc
\(Re(z^{,})=0\)<=> \(x^2+y^2-2x+3y+2=0\) de la forme de l'équation d'un cercle on obtient :
\(x^2+y^2-2x+3y=-2\)
\((x-1)^2+(y+3/2)^2=-1+(3/2)^2\)
\((x-1)^2+(y+3/2)^2=5/4\)

On obtient le cercle de centre I (1;-3/2) et de rayon \(\sqrt{5/4}\)?

Est-ce correct ?

[sos-math(22)]

oui, c'est bien, mais à condition de ne pas oublier de retirer du cercle le point A.
Bonne continuation.

[Reyana S]

Merci beaucoup d'avoir pris de votre temps pour m'aider.
Bonne soirée :)

[sos-math(22)]

Merci et bonne continuation à toi.