exp et log

[Jean michel]

Bonjour,
on a une fonction f définie sur R par f(x) = ln(1+ e^-x )
1/Déterminer la limite en -oo puis la limite de f en +oo
2/Etudier le sens de variation de f.
3/démontrer que f(x) = -x + ln (1 +e^x)
En déduire que Cf admet en -oo une asymptote.
Dans la deuxième partie
on considère les fonctions u et v telles que
u(t) = ln (1+t) - t
v(t) = ln(1+t) - t + (1/2)t²

1) Etudier les variations de u et v. En déduire que, pour tout réel positif : t- (1/2) t² < ln (1+t) <t

2) Soit n un entier naturel (n>1)
On considère le nombre Sn= f(1) + f(2) +...+ f(n)
a) Démontrer que (1-e^-n) /(e - 1) - (1/2)(1-e^-2n)/(e² - 1) < Sn < (1 - e^-n)/ (e^-1 )

b) On admet que la suite (Sn) a une limite réelle L
Montrer que | L - 1/ (e-1) | < 1/( 2 (e² -1))

J'ai réussi à faire pour l'instant les questions :
A/1/2/3/4
Le problème commence a ce poser a partir de la question B :
pour la dérivé de u je trouve u'= -x/1+x
pour la dérivé de v je trouve v'=x²/1+x
Après c'est le blocage total.

Merci d'avance pour celui qui m'aidera

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Jean-Michel,

Tes dérivées de u et d v sont exactes, déduis-en les tableaux de variations de u et de v et les signes de u(t) et de v(t) pour conclure pour la question a).
Je regarde la b),
A bientôt

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Je me suis trompé dans la numérotation dans questions.
La première indication est pour la question 1
Pour la question2a) : pense à utiliser le résultat de la question 1 pour \(t=e^{-n}\), par exemple pour \(n = 1\), tu as \(e^{-1}-\frac{1}{2}e^{-1}<f(1)<e^{-1\).
Ensuite fais la somme membre à membre. Ensuite tu as des sommes de suites géométriques.

Pour la b) Passe à la limite quand \(n\) tend vers l'infini.

Bon courage pour la suite.

[Jean Michel]

Ok merci j'ai réussi a le faire grace a vos conseils. Pourriez vous m'aidez a finir mon exercice pour les 2 derniere questions.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Jean Michel,

tu as montré que t- (1/2) t² < ln (1+t) <t
donc e^(-x) - (1/2) (e^(-x))² < ln (1+e^(-x)) < e^(-x)
soit e^(-x) - (1/2) (e^(-2x)) < ln (1+e^(-x)) < e^(-x)

Pour x = 1 à n tu fais la somme membre à membre des n égalités et tu trouves :
\(\sum_{i=1}^{n}e^{-i}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}e^{-2i}<\sum_{i=1}^{n}f(i)<\sum_{i=1}^{n}e^{-i}\)

soit \(\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{e})^{i}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{e^2})^{i}<\sum_{i=1}^{n}f(i)<\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{e})^{i}\)

Et là tu dois reconnaître des sommes usuelles ...

SoSMath.