QCM sur les congruences

[Antoine]

Bonsoir,

J'ai un QCM à faire sur les congruences.
J'ai cherché les réponses et j'aimerais bien avoir votre avis sur les justifications que j'ai fournies.


8. "Si a et b sont des entiers tels que 2 a congru 2 b (10) alors ?"
--> 4a congru 4 b (10) ? --> Oui il suffit de multiplier par deux les congruences (cours)
--> a congru à b (10) ? --> Non car on ne peut pas diviser des congruences ? (pas sûr de cette justification)
--> 8(a^3) congru 8(b^3) (10) ? --> Oui, car vu que (2a)^3 = 8 a^3 et (2b)^3 = 8 b^3 (en gros je mets tout à la puissance 3)
--> a - b est divisible par 5 ? --> Oui, mais je ne sais pas comment le justifier si ce n'est avec un exemple...


9. "Si 7 divise n + 4 alors ?"
--> n congru à 7 (4) ? --> Non (justification ?)
--> n congru à 3 (4) ? --> Non (justification ?)
--> n = 7k - 4 avec k entier --> Oui, car si 7 divise n + 4 alors on peut dire que 7k = n + 4 donc que n = 7k - 4 avec k entier
--> n congru à 3 (7) ? --> Oui car si 7 divise n + 4 il divise aussi 7. Par combinaison linéaire, 7 divise n - 3. Donc 7k = n - 3 donc n congru à 3 (7)


10. "197 est congru à 7 modulo ?"
--> Modulo 2 ? --> Oui, 197 - 7 = 190 qui vaut 95 si on divise par 2
--> Modulo 3 ? --> Non, 197 - 7 = 190 qui ne vaut pas un entier
--> Modulo 5 --> Oui, 197 - 7 = 190 et comme 190 finit par 0 alors il est divisible par 5 (ça vaut même 38)
--> Modulo 10 ? --> Oui, 197 - 7 = 190 qui vaut 19 si on le divise par 10


11. "L'équation 3x congru 3 (6) équivaut à ?"
--> x congru 1 (6) ? --> Non car ce n'est pas la seule solution ^^ (ou alors je dois aussi le faire figurer dedans ?)
--> x congru 1 (2) ? --> Oui, car si 3x congru 3 (6) alors 3x - 3 = 6k donc 3 (x - 1) = 3 * 2k alors x - 1 = 2 k ce qui veut dire que x congru 1 (2)
--> x congru 1 (6) ou x congru 3 (6) ? --> Oui d'après mon tableau de congruences car quand x congru 1 (6) alors 3x congru 3 (6) et si x congru 3 (6) alors 3x congru 9 (6) mais comme 9 congru 3 (6)...


12. "Soit n un entier naturel. Le nombre suivant est un multiple de 5 ?"
--> 6^n + 2006 --> Non mais je ne sais pas comment le justifier. En prenant l'exemple où n = 1 peut-être ?
--> 4^2n - 2006 --> Oui mais je ne sais pas du tout comment le justifier...
--> 11^n + 9n --> Non si je prends le cas où n = 3 ça fait 1358 qui n'est pas un multiple de 5
--> 10^n - 10 --> Oui car ça fait 10 (1^n - 1) soit 5 * 2 * (1^n - 1) donc multiple de 5


Voilà, désolé il est assez long mais j'aimerai bien que vous puissez me dire ce qui va et ce qui va pas et m'aider pour les justifications où je ne sais pas quoi dire ^^

Bonne soirée

Antoine

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Antoine,

Un contre-exemple suffit pour affirmer que la réponse est fausse. Par contre il faut une preuve pour affirmer qu'elle est vraie.

Si 2a est congru à 2b modulo 10 alors 2b - 2a est un multiple de 10 donc a - b est ... à toi de finir.

Pour la 9 donne un contre-exemple.

Pour le 11 tu peux dire oui au début mais affirmer que ce n'est pas la seule solution.

Pour la 12 tu peux observer que les puissances d'un nombre se terminant par 6 se terminent toujours par 6, si tu ajoute 2006 ou si tu enlèves 2006 tu peux conclure pour la divisibilité par 5.

Bonne continuation

[Antoine]

Bonsoir,

Okay j'ai compris pour tout sauf pour la puissance de 6
En gros si j'ai bien compris :

6^n se termine toujours par 6
Et comme on soustrait par 2006 on finit toujours par un nombre qui se finit par 0

Or un nombre qui se termine par 0 est un critère de divisibilité par 5 ?

Et ce que j'ai fait est-il juste selon vous ? ^^


Merci à vous !

Antoine

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Dans l'ensemble c'est OK.

Pour la phrase "Or un nombre qui se termine par 0 est un critère de divisibilité par 5 ?" tu peux dire "un nombre qui se termine par 0 est divisible par 5" et si on ajoute 2006 le résultat se termine par 2 ...

Bonne fin d'exercice

[Antoine]

Bonsoir,

Ah oui pardon on ajoute 2006 on ne les enlève pas du coup, oui ça fini par 2 ^^


Merci pour votre aide !

Antoine