Sens de variation d'une fonction

[Bobka]

Bonjour,

f est la fonction définie sur ]-infini ; -2-2 ; +infini[ par \(f(x)=3x+1/x+2\)

1) Vérifier que pour tout nombre réel \(x\), \(x\) différent de -2, \(f(x)= 3-5/x+2\)
La-dessus j'ai tout simplement testé la fonction en remplaçant x par -2 :
\(f(-2)=3-5/-2+2 =3-5/0\) or il est impossible de diviser par 0, donc pour tout réel x, x doit être différent de -2

2) Etudier alors le sens de variation de f
Je sais que f est définie sur ]-infini ; -2-2 ; +infini[ mais je ne sais pas comment étudier le sens de variation...

Pouvez-vous me dire si le 1) est correct, et surtout m'aider pour 2) (en classe nous n'avons pas encore vu la "dérivée" c'est embêtant je crois pour cet exercice).

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Question 1.
Non, tu ne peux pas calculer l'image de \(-\)\(2\) par \(f\), puisque c'est la valeur interdite.

Tu peux partir du résultat proposé par ton énoncé et vérifier que c'est bien \(f(x)\).

\(3-\frac{5}{x+2}=\frac{3(x+2)-5}{x+2}=...\)

Question 2.
Si tu n'as pas encore vu la dérivée, il faut alors utiliser les définitions : fonction croissante, décroissante sur un intervalle I.

On raisonne par exemple sur l'intervalle \(I=]-\infty ; -2[\).

On considère \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) tels que \(a<b\).

Dans ce cas, \(a+2<b+2<0\).

Puis... à toi de terminer en t'aidant de ce que tu as vu en cours et en utilisant la question 1.

Bonne continuation.

[Bobka]

\(3-5/x+2=3(x+2)-5/x+2=3x+6-5/x+2=3x+1/x+2\) cela correspond bien à f(x) ... mais je ne vois très bien en quoi cela explique que -2 est la valeur interdite pourriez-vous m'expliquer brièvement?

Pour le 2) je réfléchit un peu et je poste ma réponse ... :)

[sos-math(22)]

Cela n'a rien avoir. Dès le début de l'exercice, tu sais que 2 est la valeur interdite, car c'est la valeur qui annule le dénominateur.

[Bobka]

Dire que f est croissante dans un intervalle I, c'est dire que pour tout x dans I, x et f(x) varient dans le même sens (si x augmente, f(x) augmente et si x diminue, f(x) diminue) ici par exemple \(f(-3)=3*(-3)+1/-3+2=8\) et \(f(-10)=3,625\) on remarque que si x diminue (-3 à -10) f(x) diminue donc sur ]-infini ; -2[ la fonction f est croissante ...

es-ce bon pour cet intervalle?

[Bobka]

Oui c'est vrai on le sais, je pensais qu'il fallait le démontrer je me suis trompé, donc la réponse au 1) \(3-5/x+2=3(x+2)-5/x+2=3x+6-5/x+2=3x+1/x+2\) est bien correcte :)

[sos-math(22)]

La réponse au 1 est bien correcte, à condition d'écrire les parenthèses qui ne sont pas écrites.
Pour le 2), il faut utiliser la "vraie" définition.
Je t'ai déjà beaucoup aidé...
Relis ce que j'ai écrit à ce sujet.
Bonne continuation.

[Bobka]

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[ on considère a et b deux réels de cet intervalle tels que a<b.
Dans ce cas, a+2<b+2<0
or on sait que dire que f est croissante dans un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b dans I, f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.On dit qu'une fonction croissante dans un intervalle I conserve l'ordre dans cet intervalle.
dans cet intervalle ]-infini ; -2[ la fonction conserve bien l'ordre, donc elle est croissante...

Maintenant le second intervalle ]-2 ; +infini[ ... j'y réfléchit et je poste :)

[sos-math(22)]

Je t'aide davantage, car je crains que tu n'y arrives pas tout seul...

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[, on considère \(a\) et \(b\) deux réels de cet intervalle tels que \(a<b\).

Dans ce cas, \(a+2<b+2<0\).

Or, on sait que la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[, c'est à dire que pour tout réel a et tout réel b dans ]-oo ; 0[, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et de b.

Par conséquent, \(\frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2}\). (Fais attention ici à ne pas confondre les a et b en rouge et les autres... je te conseille d'utiliser d'autres lettres pour le texte général en rouge)

Puis...

Bonne continuation.

[Bobka]

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[, on considère a et b deux réels de cet intervalle tels que a<b.

Dans ce cas, a+2<b+2<0.

Or, on sait que la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[, c'est à dire que pour tout réel a et tout réel b dans ]-oo ; 0[, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et de b.

Par conséquent, \frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2} , l'ordre est inversé donc la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-infini ; 0[ soit sur ]-infini ; -2[ et -2;0[

Logiquement ça devrait être cela

[sos-math(22)]

Non, tu as \(\frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2}\) donc \(\frac{-5}{a+2}<\frac{-5}{b+2}\) puis \(3+\frac{-5}{a+2}<3+\frac{-5}{b+2}\) et enfin \(f(a)<f(b)\).
Bonne continuation.

[Bobka]

Ah ça y est je pense avoir compris maintenant je vais étudier le sens de variation de f pour le seconde intervalle mais d'abord je conclu pour le premier :

Sur l'intervalle ]-infini ; -2[, on considère a et b deux réels de cet intervalle tels que a<b.
Dans ce cas, a+2<b+2<0.
Or, on sait que la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[, c'est à dire que pour tout réel a et tout réel b dans ]-oo ; 0[, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et de b.
Par conséquent, \frac{1}{a+2}>\frac{1}{b+2} donc \frac{-5}{a+2}<\frac{-5}{b+2} puis 3+\frac{-5}{a+2}<3+\frac{-5}{b+2} et enfin f(a)<f(b).

a<b et f(a)<f(b) sur l'intervalle ]-infini ; -2[ la fonction conserve l'ordre, c'est donc une fonction croissante sur cet intervalle ! :)
Peut-on "illustrer" par des exemples type f(-3)=3*(-3)+1/-3+2=8 et f(-10)=3,625 ou ce bien c'est du superflux dans ce cas?

[sos-math(22)]

non, il est inutile d'illustrer la démonstration...

Bonne continuation.

[Bobka]

Bonne continuation à vous aussi, et je tient également à vous remercier pour l'aide que vous m'avez apporté, je vous en suis très reconnaissant :)

Cordialement.

[sos-math(22)]

Merci, bonne continuation.