Etude de dérivation

[Camille]

Bonjour.
J'ai quelques soucis en ce qui concerne l'étude de dérivation.
Il me semble avoir compris qu'il faut dans tous les cas étudier la limite de la fonction g(h) = [f(a+h) - f(a)] / h, en remplaçant a par le réel en lequel on étudie la dérivation. Si la limite de g est un réel, la fonction f est bien dérivable en a. Est-ce cela ?
En tant qu'exemple, je dois étudier la dérivation en 2 de la fonction f(x) = x[racine carrée de (x²-2x)].
En développant g(h), j'arrive au résultat suivant : g(h) = [(2+h)(racine carrée de (h²-2h)] / h.
Que faire ensuite ? Etudier la limite de g lorsque h tend vers 0 ou lorsque h tend vers a (c'est-à-dire vers 2) ?
Je suis perdue...
Merci de bien vouloir tenter de m'expliquer si mon raisonnement est juste ou s'il est faux, et pourquoi.
Cordialement.
Marie.

[sos-math(20)]

Bonjour Camille,

Votre définition de fonction dérivable en a convient à condition de rajouter "la limite de la fonction g quand h tend vers 0".
En ce qui concerne l'expression de la fonction g que vous avez calculée pour votre exemple, il y a \(h^2+2h\) et pas \(h^2-2h\) sous la racine carrée me semble-t-il : il vous faudra reprendre votre calcul.

Ensuite, il faut toujours simplifier l'écriture de la fonction g : ici vous pouvez factoriser \(\sqrt{h}\) au numérateur et vous pourrez donc simplifier la fraction par \(\sqrt{h}\); vous n'avez plus, alors, qu'à calculer la limite du quotient quand h tend vers 0 par valeurs supérieures et à conclure (dans votre cas, la fonction n'est pas dérivable en 2).

Bon courage.

SOS-math

[Camille]

Merci beaucoup pour votre aide ! Je comprends mieux mon erreur.

Cordialement.

[sos-math(22)]

Bonne soirée Camille.