SUITE

[Arielle]

Bonjour, j'ai U0=6 et Un+1= rac Un et je dois montrer par récurrence que 0\(\leq\)Un+1\(\leq\)Un?
Or je n'ai pas l'expression de Un donc je pense à mettre Un en fonction de n?
1er étape: initialisation est-ce que c'est U0+1=rac de U0= rac6?
comment continuer?

[sos-math(22)]

Bonsoir,

1er étape: initialisation.
\(U_0=6\) et \(U_1=\sqrt{6}\) donc \(0 \leq U_1 \leq U_0\)

2ème étape : hérédité.
On suppose la propriété vraie pour un entier n ; à savoir \(0 \leq U_{n+1} \leq U_n\).
Comme la fonction racine est croissante sur R+, elle conserve l'ordre des éléments de R+.

Par conséquent...

A toi à terminer.

bonne continuation.

[Arielle]

Comment vous déduisez \(0 \leq U_1 \leq U_0\)?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Arielle,

Tu connais les valeurs numériques de \(U_0\) et de \(U_1\); \(U_0=6\) et \(U_1=\sqrt{6}\) donc on a bien \(0 \leq U_1 \leq U_0\)

Bonne continuation.

[Arielle]

Du coup je dois établir une formule qui me permet de passer de U0 à U1 àU2 car j'ai calculer les valeurs et ça me donne U1=2.4, U2=1.6, U3=1.3 etc.?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Arielle,

Tu ne vas pas passer ta vie à comparer les termes de cette suite... Elle ne suffirait d’ailleurs pas !
Ici pour démontrer ce résultat : " Pour n entier, on a \(0 \leq U_{n+1} \leq U_n\)", tu vas utiliser une démonstration par récurrence.
Pour cela, tu vérifies que la propriété est vraie au rang 0 (initialisation), c'est à dire que \(0 \leq U_1 \leq U_0\). C'est fait !
Puis tu supposes la propriété vraie au rang n ; à savoir \(0 \leq U_{n+1} \leq U_n\) et tu vas démontrer qu'elle l'est au rang "n+1", c'est à dire que \(0 \leq U_{n+2} \leq U_{n+1}\).
La fonction racine, croissante sur R+, devrait te permettre de vite mettre en place ce résultat.

Bonne continuation.

[Arielle]

ah mais comment on calcule \(U_{n+2}\)? C'est égal rac Un+1?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Arielle,

Oui ! \(u_{n+2}=\sqr{u_{n+1}}\).

SoSMath.

[Arielle]

ah 0\(\leq\)\(\sqr{u_{n+1}\)\(\leq\) \(\sqr{u_{n}\)? donc je les met au carré?

[SoS-Math(9)]

Arielle,

Il ne faut pas mettre au carré !!!
On a : \(0\leq\sqr{u_{n+1}}\leq\sqr{u_n}\) donc \(0\leq{}u_{n+2}\leq\....\)

SoSMath.

[Arielle]

ah bon mais si on met au carré on a \(0 \leq U_{n+1} \leq U_n\) qu'on veut démontrer?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Arielle,

Tu y es presque !

Tu as \(0 \leq \sqrt{U_{n+1}} \leq \sqrt{U_n}\) et tu veux \(0 \leq U_{n+2} \leq U_{n+1}\)... A quoi est égal \(\sqrt{U_{n+1}}\) ? et \(\sqrt{U_{n}}\) ?

Reste à bien rédiger...

Bon courage et à plus tard !

[Arielle]

Non en fait il faut que je démontre \(0 \leq U_{n+1} \leq U_n\)

[SoS-Math(9)]

Arielle,

tu n'as pas compris le raisonnement par récurrence ....
Tu suppose que ta propriété \(P_n\) ( \(0\leq{}u_{n+1}<u_n\)) est vraie et il faut montrer que \(P_{n+1}\) est vraie.
Donc comme \(0\leq{}u_{n+1}<u_n\) implique que \(0\leq{}u_{n+2}<u_{n+1}\) alors \(P_{n+1}\) est vraie.
Donc comme tu as vérifié que \(P_0\) est vraie, alors par hérédité la propriété est toujours vraie (pour tous les n).

SoSMath.

[Phoenicia]

ah donc quand on a montré que \(0\leq{}u_{n+2}<u_{n+1}\) est vraie on a montré que \(0 \leq U_{n+1} \leq U_n\) est vraie?