Exponentielle et équation différentielle

[Antoine]

Bonjour,
J'ai un exercice concernant la fonction exponentielle et les équations différentielles que je ne comprends pas très bien...

"Le but de cet exercice est de montrer que l'équation (E) : e^x = 1 / x admet une unique solution dans IR.
On note f la fonction sur IR par f(x) = x e^(-x)"

1. Démontrer que si x est solution de (E) si et seulement si f(x) = 0
f(x) = 0
<=> x - e^(-x) = 0
<=> x = e^(-x)
<=> 1 / x = e^(x)
<=> Donc x est solution de (E)


2. a. Etudier le sens de variation de la fonction f sur IR
Dérivée de f c'est 1 + e^(-x)
Donc f est strictement croissante sur IR

b. En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur IR notée alpha
Là je ne comprends pas comment je dois procéder ?


3. Démontrer que alpha appartient à [1/2 ; 1]
De même je ne sais pas comment faire ici


4. Donner une valeur approchée de alpha à 10^-3 près
Pareil, j'imagine qu'avec la réponse aux questions d'avant ce sera plus facile ^^


Voilà, merci si jamais vous pouvez m'aider, j'avoue que je suis un peu coincé --'

Antoine

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antoine,

Question 2 :
* Ta dérivée est fausse ... tu as f = uv donc f ' = u'v+uv' ....
* Pour répondre à la question 2b, il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Question 3 : c'est la même question que le 2b, sauf qu'ici on restreint l'intervalle à [1/2 ; 1].
Question 4 : il faut utiliser le tableau de valeurs de f de ta calculatrice ou un programme de dichotomie.

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
Ah oui en effet je me suis planté dans la dérivée.

Maintenant je trouve f'(x) = e^(-x) (x + 1)


b. En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur IR notée alpha
Comment je peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur une telle fonction ?

J'ai pas quelque chose de la forme g(x) = k nan ? oO
Car ce que j'ai fait en cours, j'utilisais ce théorème lorsque g(x) = 0 par exemple et ensuite on trouvait alpha...

Mais là, comment je peux faire sachant qu'on me dit pas la droite d'équation recherchée ?

[SoS-Math(9)]

Antoine,

Ta dérivée est toujours fausse .... rappel : \((e^{u})^,=....\) (voir ton cours !).

Ensuite avant d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires il faut vérifier les conditions d'utilisation .... (voir ton cours !).

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
Bon je suis vraiment pas doué, en fait dans l'énoncé, f'(x) = x - e^(-x)

D'où le fait que je trouve 1 + e^(-x) à ma dérivée, et que par conséquent elle est croissante sur IR.


Et bien les conditions pour utiliser ce théorème, c'est bien d'avoir une fonction continue (ici c'est le cas), et strictement monotone n'est-ce pas ?

En plus cette fonction est strictement croissante sur IR donc elle admet forcément une solution sur IR
Moi ce que je ne comprends pas, c'est qu'on a pas une équation du genre "f(x) = 0"

Car là elle a une solution sur IR... Mais une solution de quoi ?
Je comprends vraiment pas...

[SoS-Math(9)]

Antoine,

tu veux dire que f(x) = x - e^(-x) (et non f') ?
Je comprends mieux ... c'est plus logique pour la suite de l'exercice !

(E) e^x = 1/x <=> f(x) = 0 d'après la question 1 ....
Donc tu as bien ton équation du genre "f(x) = 0" !

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
Oui exactement ^^

D'accord, et par le fait que (E) e^x = 1/x <=> f(x) = 0
Je peux donc affirmer que l'équation (E) admet une unique solution sur IR, c'est bien ça ?

Mon problème c'est que j'aimerais savoir comment le démontrer sur l'intervalle [1/2 ; 1]
J'ai juste par curiosité vu que f(1/2) < 0 et que f(1) > 0

J'imagine que je dois refaire un théorème de la bijection pour montrer qu'il y a une unique solution sur cet intervalle ?
Je ne vois pas trop comment faire sur cet intervalle.


Néanmoins j'ai réussi à trouver alpha, enfin du moins à l'approcher avec ma calculatrice, je trouve 0,567 < alpha < 0,568

Voilà merci encore

[Antoine]

Bonjour,
Ah en fait je viens de me rendre compte d'un truc !

Si ce que je dis est vrai, f(1/2) < 0 et f(1) > 0

Donc forcément vu qu'on cherche la solution alpha de (E), elle se situe forcément dans cet intervalle !

Voilà, merci de me dire si j'ai faux ou pas ^^

En vous remerciant,
Antoine

[SoS-Math(9)]

C'est exact Antoine !

SoSMath.