Dm : fonctions

[Louise]

Bonsoir,
J'ai un exercice de mon devoir maison que je ne comprend vraiment pas, pourriez vous m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance !

Exercice:
Soient U, V et W des sous ensembles de R, f:U → V et g:W→R deux fonctions telles que V Cou egal W. Par definition, la composée de f et de g, notée g o f, est la fonction définie sur U et à valeurs dans R telle que, pour tout nombre réel x appartenant à U, on a (g o f)(x)=g(f(x)).
1) Dans cette question, on considère les fonctions f et g définies sur ]0,+infini[ par f(x)=1/x et g(x)=(x-1)/(x+1) . Calculer (g o f)(x), pour tout nombre réel x strictement positif.
2) Dans cette question, on suppose que les fonctions f et g sont quelconques.
a) Supposons que f et g sont croissantes sur I
Montrer que g o f est croissante sur I
b) Supposons que f est croissante sur I et g décroissante sur I
La fonction g o f est-elle décroissante sur I ?

Voilà, j'ai beaucoup de mal a comprendre
Pour la 1) Comme indiqué, gof(x) = g(f(x)).
Donc :
gof(x) = g(f(x)) = g(1/x).
donc g(1/x) = -1 , c'est correct ?
Et la 2) je sais pas comment démontrer...

Merci ! :)

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Louise,

Tu as bien commencé. \(gof(x)=g(f(x))=g(\frac{1}{x})\) donc \(gof(x)=\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\)
il te faut ensuite simplifier cette expression pour obtenir une expression "plus sympathique" de gof.

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour,
Merci, donc c'est ça la forme plus simplifié ?
(gof)(x)=((1/x)-1)/((1/x)+1)= (1-x)/(1+x)
Je pense que c'est faux...
Et pour la deuxième question je n'arrive pas à démarrer...

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Il ne faut pas penser "négativement"... Ton expression est juste !

2) Ici tu es dans un cas général ; tu oublies donc le travail fait à la question 1). Il faut montrer que (gof) est croissante sur I. Qu'est-ce que cela signifie ? Que dois-tu montrer ?

A bientôt

[Louise]

Ah pour une fois que j'ai juste, merci !

2) Il faudrait savoir ce que signifie (g o f) pour cette question ?
C'est quoi la " composée de f et de g " en fait, j'ai jamais vue ?
On doit faire avec une propriété, par exemple si f et croissante avec g aussi, donc g o f est croissante ?
Non c'est pas ça, je vois pas du tout ...

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Tu as vu, au début de cet exercice, ce qu'est la " composée de f et de g " ... En fait, c'est un peu comme si tu avais deux machines (chacune représentant une des fonctions). Tu pars d'un nombre "x", tu lui fait subir la transformation liée à la première machine (la fonction f), cela te donne un résultat et tu fais subir à ce résultat la transformation liée à la deuxième machine (la fonction g). La fonction gof est un peu une machine qui pourrait remplacer les deux autres ! Ça, c'est pour la "petite histoire imagée"...

Revenons sur ton problème. Pour démontrer que la fonction (gof) est croissante, il faut partir de deux nombres \(x\) et \(y\) tels que \(x<y\) . Le but est de parvenir à démontrer qu'on a alors \((gof)(x)<(gof)(y)\).
Pars de \(x<y\), commence par appliquer la fonction \(f\) à ces deux nombres (en utilisant les informations données), puis applique aux deux résultats la fonction \(g\) (en utilisant, là encre, les informations données).

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour,
Merci pour l'explication, maintenent je saurais ce qu'est la composée !

Je suis désolé j'ai pas trop compris ce que je dois faire, je dois utiliser (gof)(x)=g(f(x)) et f(x)=1/x ?
Je vois vraiment pas comment démontrer (gof)(x)<(gof)(y) ....

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Non, il ne faut pas utiliser les fonctions de la question 1. Ici on revient au cas général !

Tu sais que f est croissante, comme \(x<y\), que peux-tu alors dire de \(f(x)\) et \(f(y)\) ?
On continuera ensuite !

Bonne recherche

[Louise]

Bonjour,
Ah c'est vrai oui, merci.

Mais c'est quoi y ?
f(x) est croissante, non ?
Désolé.. j'ai du mal.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Oui f est croissante et c'est la propriété liée au fait que cette fonction est croissante que l'on va utiliser. On choisit 2 nombres quelconques x et y, on prend juste x<y.
Comme f est croissante, que peux-tu dire de f(x) et de f(y) ?

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour,

C'est quoi cette propriété ?
f(x) et f(y) sont croissante ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Louise, dire qu'une fonction est croissante revient à dire que si x < y alors les images f(x) et f(y) seront dans le même ordre, c'est à dire que f(x) < f(y) ;
si f est décroissante, on a alors : si x < y alors f(x) > f(y) (les images sont alors dans l'ordre inverse).

Tu as donc ici : si on choisit x < y alors, comme f est croissante, f(x) < f(y) et maintenant à toi de finir en appliquant la fonction g qui elle aussi est croissante !

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour,

Je sais pas si j'ai compris, mais merci en tous cas...
Pour la fonction g c'est, x<y, et comme g est croissante, g(x)<g(y) , c'est ça ?
Mais on devait pas démontrer (gof)(x)<(gof)(y) ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Si x < y, et comme g est croissante, g(x) < g(y). Tu as la bonne idée, il faut juste appliquer la fonction g à f(x) et à f(y) !

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour,

Mais je comprends pas... comment on fait ça ?