Equations différentielles

[Antoine]

Bonjour !
Je dois faire un exercice sur les équa' diff' mais je vous avoue que je suis un peu perdu !!

L'énoncé
"On considère l'équation différentielle (E) : y' = 2y (y - 3)
On cherche les solutions de (E) qui ne s'annulent pas. Soit f une telle solution. On pose g = 1 / f"

a. Montrer que si f est solution de (E), alors g est solution de (E') : y' = 6y - 2
==> Donc là j'ai voulu partir de f solution de (E) soit f'(x) = 2 f(x) [ f(x) - 3]
Par contre je ne sais pas si là je dois développer ou autre...
Auquel cas j'aurais 2 f(x) ² - 6 f(x)

Mais ensuite je sais que g(x) = 1 / f(x) et qu'à la fin je veux obtenir g'(x) = 6 g(x) - 2 (ou g'(x) = 6 / f(x) - 2)
Donc je vous avoue que j'ai essayé dans tous les sens mais je ne parviens pas à faire cette question

(De plus pour la seconde question on me demande de montrer que si g est solution de (E') alors f est solution de (E)... Pourquoi demander la même chose mais en inversant ?!)


Voilà voilà merci si vous pouvez m'aider à résoudre cette question ^^

Antoine

[SoS-Math(11)]

Bonjour Antoine,

Ton équation (E) peut s'écrire \(y^,=2y^2-6y\)
Tu as \(g=\frac{1}{f}\) commence par dériver \(g\), remplace ensuite \(f^,\) par \(2f^2-6f\), simplifie et remarque que \(\frac{6}{f}=g\) tu dois pouvoir conclure.

La seconde question est la réciproque et elle permet d'affirmer que les seules solutions de (E) sont les inverses de celles de (E').
Tu connais celles de (E') tu peux alors en déduire celles de (E).

Bonne continuation

[Antoine]

Bonsoir,
Malgré ce que vous me dîtes je ne comprends toujours pas...

Pour moi g'(x) = - f(x) / f(x)²
Ensuite vous me parlez de remplacer f' par 2f² - 6f

Ca veut dire que f'(x) = 2 f(x)² - 6 f(x)
Je vois pas ce que je peux simplifier ici :/

Désolé mais même avec vos indications je ne comprends rien :/

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,
Une fraction peut se simplifier quand on a des facteurs communs au dénominateur et au numérateur, par exemple : \(\frac{2\times9 - 5\times 3}{9}=2-\frac{5}{3}\).
Bon courage

[Antoine]

Bonjour,
J'ai réussi à finir mon exercice hier grâce à vos aides, merci beaucoup.

Par contre j'ai un autre souci, je vais reposter un topic.

Merci encore
Antoine

[SoS-Math(9)]

A bientôt,
SoSMath.