Dm maths

[Lea]

Bonjour, je cherche a determiner ,suivant les valeurs du reel a, le nombre de solutions de lequation :
e^x=x+a

Pour ma part, j'ai fait :
x=ln(x+a)
Le logarithme n'est défini que sur ]0,+inf[, donc les valeurs de x sont supérieurs a 0 et a est supérieur a 0 !
???

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

e^x=x+a équivaut à e^x-x-a=0

Pour connaitre le nombre de solutions de cette équation, je te conseille d'étudier les variations de la fonction g telle que g(x)= e^x-x-a

sosmaths

[Lea]

Le problème c'est que l'on a deux inconnues : a et x ?

[Lea]

J'ai fait le tableau de variations et j'ai aussi fait la dérivée de g(x)
Je trouve g'(x)= e^x-1

Le tableau est du style :

X. -inf. 0. +inf
g'(x) - 0. +
g(x) flèche en bas g(0). Flèche vers le haut



Et g(0) = 1-a
??

[SoS-Math(4)]

C'est bien. Tu as donc un minimum qui est 1-a.
D'autre part les limites en -infini et + infini sont +infini.

Donc tu vas chercher le nombre de fois que f s'annule en fonction du signe de 1-a. Essaye de dessiner la courbe .

sosmaths

[Lea]

Si on fait le tableau de variation de 1-a , il ne s annule qu'une fois en a=1
?

[SoS-Math(4)]

d'accord, mais c'est le nombre de fois que f s'annule que l'on cherche. réfléchis un peu.

sosmaths

[Lea]

Étant donne le tableau de variation, f s annule deux fois lorsque a =1 et lorsque a=-1

[SoS-Math(4)]

relis le message de 8h45 concernant le minimum.

sosmaths

[Lea]

Non , lorsque a=0
Il y a donc deux valeurs de a pour laquelle la fonction g s annule ?

[Lea]

Je suis un peu perdue :
Il y a deux valeurs de a pour laquelle f s annule , lorsque a=1 et lorsque a =0 ?

[Lea]

Je suis perdue désolée !
Je suppose qu'il y a deux solutions pour a pour que f s annule ...

[SoS-Math(4)]

Nous avons vu que le minimum de f est 1-a

Donc , si 1-a>0 le minimum est positif donc la fonction ne peut s'annuler

si 1-a = 0 , alors le minimum est nul et alors la fonction s'annule pour une seule valeur.


si 1-a < 0 je te laisse réfléchir et finir.

sosmaths

[Lea]

Si 1-a<0
alors a>1 et donc la fonction f ne s annule pas ?
Merci !

[SoS-Math(24)]

Bonjour Léa,

Tu devrais faire un schéma de la courbe, en observant bien le tableau de variation.

Reprenons qe qui t'a été dit hier:

si 1-a>0 (c'est à dire pour a<1) le minimum est positif donc la fonction ne peut s'annuler

si 1-a = 0 (c'est à dire pour a=1), alors le minimum est nul et alors la fonction s'annule pour une seule valeur.

et si 1-a<0 (c'est à dire pour a>1) , ............
Vu le tableau de variation de la fonction, la courbe va rencontrer l'axe des abscisses deux fois. Je pense que maintenant tu peux compléter cette partie-là.

Bon courage.
Sos-math