Fonction Périodique et symétrie

[Lilly]

Bonsoir,
On nous dit dans une exercice que f est une fonction périodique,montrer qu'il existe deux symétries orthogonales S et S' telles que le graphe de f soit préservé par la composé SoS'
je Sais qu'une fonction périodique est telle que f(x)=f(T+x),j'ai pensé aux fonctions paires/impaires mais on ne sait rien sur f sauf qu'elle est periodique ...donc je suis bloquée .merci d'avance :)

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Lilly,

Tu peux essayer avec les symétries d'axe les droites d'équations x = 0 (axe des ordonnées) et x = T/2.

SoSMath.

[Lilly]

Je connais ces axes mais je comprend pas comment on peut répondre a la question posée:
S(f(x)) =S(f(x+T)) avec s la symetrie d'axe x=0
S'(f(x))=S'(f(x+T)) avec s' la symetrie d'axe x=T/2
mais comment montrer que SoS'=f(x) ??
merci

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Considérons le point M(x, f(x)) de la courbe représentative de f.
Soit M1 le point symétrique de M par rapport à l'axe d'équation x=0.

Alors M1(-x, f(x))

Soit M2 le point symétrique de M1 par rapport à l'axe d'équation x=T/2
M2 a pour abscisse : -x+(T/2-(-x))2= -x+T+2x=T+x ( faire une figure pour comprendre cette formule)
Donc M2(T+x, f(x))

Or f(x)=f(T+x) puisque f est périodique de période T. Donc M2(T+x, f(T+x)) ce qui prouve que M2 est sur la courbe représentative de f

Je te laisse finir;

sosmaths

[Lilly]

Si on trouve que M2(x+T;f(x+T)) ca ne prouve pas que le graphe de f est préservé :s car on doit trouver finalement que M2(x;f(x)) .non?

[SoS-Math(4)]

On a prouvé que si M appartient à la courbe, alors son image par la composée des 2 translations est aussi un point de la courbe.

sosmaths

[Lilly]

Merci , j'ai compris.
Une question : A quelle condition la composé de deux homographies admet-elle un centre de symetrie ?
on sait que toute homographie a un centre de symetrie (on avait déja démontrer ca en classe) ,or la composé de deux homographies est une homographie .
Donc qu'est ce que je peux mettre comme condition ? je dois parler des ensembles de définitions ??

[SoS-Math(4)]

D'après ce que tu énonces , il n'y a aucune condition. mais j'en doute.
Je pense qu'une homographie est de la forme (ax+b)/(cx+d) tu n'as qu'à composer 2 homographies dans le cas général et voir ce que celà donne.

sosmaths

[Lilly]

j'ai dis f=(ax+b)/(cx+d) et g=(ex+f)/(gx+h) donc fog=((ae+bg)x +(af+bh))/((ce+dg)x+cf+dh) et j'ai dit il fait que
x C Df et f(x) C Dg
x≠ -d/c et (ax+b/cx+d) ≠ -h/g
...
x ≠ (-hd-bg )/(ag+hc)

j'ai un probleme car fog=((ae+bg)x +(af+bh))/((ce+dg)x+cf+dh) donc Dfog={ x ≠ -cf-dh/ce+dg } ce qui est diferent de ce que je trouve en haut :

x≠ -d/c et (ax+b/cx+d) ≠ -h/g
...
x ≠ (-hd-bg )/(ag+hc)

Est ce que la condition sera il faut que (-hd-bg )/(ag+hc) = -cf-dh/ce+dg ????
merci

[SoS-Math(4)]

Je pense que ton erreur viens du fait que tu te trompes pour le calcul de l'ensemble de définition de fog. Il faut que x appartient à Dg et que g(x) appartient à Df. Tu as écris l'inverse.

sosmaths

[Lilly]

ah d accord merci .

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Bon courage.

[Lilly]

La question est posée avec des étoiles , donc elle est censée être dure.non ?
Je crois que parler de son ensemble de définition et dire que toute homographie admet un centre de symétrie n'est pas suffisant .On ne doit pas l'étudier : étudier son tableau de variation pour voir est ce que les valeurs ou elle s'annule :-h/g et -(cf+dh)/(ce+dg) sont symétriques??

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Désolé mais je ne comprends pas ton dernier message...