Une suite qui converge vers e

[Bastien]

Bonjour, j'ai un petit exercice où je bloque, si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider ça serait bien!
Pour tout entier n \(\geq\)2, la factorielle de n est le nombre définit par n!=1 \(\times\) 2 \(\times\)...\(\times\) (n-1) \(\times\) n.
Par convention, on note 0!=1!=1.
Soient (\(u_{n}\)), n \(\in\) IN et (\(v_{n}\)), n \(\in\) IN les suites définies par \(u_{n}\)= Σ \(\frac{1}{k!}\) et \(v_{n}\)=\(u_{n}\)+\(\frac{1}{n!}\) pour tout n \(\geq\)1.
1) Calculer n! pour tout entier naturel n \(\leq\)5, et pour tout n \(\in\) IN, simplifier \(\frac{n+1}{(n+1)!}\) .
2) Montrer que pour tout entier n \(\geq\)1, n! \(\geq\)n.
3) Calculer les cinq premiers termes de (\(u_{n}\)) ainsi que \(v_{5}\)
4) Montrer que les suites (\(v_{n}\)) et (\(u_{n}\)) sont adjacentes. on admet que leur limite commune est le nombre e.
5) A partir de quel n a-t-on \(v_{n}\)- \(u_{n}\) < \(10^{-8}\)? En déduire une valeur approchée de e à \(10^{-8}\).

Voila ce que j'ai fait:
1)Pour tout entier naturel n \(\leq\) 5, 5!= 120. Pour simplifier, je ne sais pas!
2)On montre par récurrence que pour tout n \(\geq\) 1, que n! \(\geq\) n
* 1!=1\(\geq\)1 la propriété est vrai au rang 1
*Soit n \(\in\) IN, on suppose que la propriété est vraie au rang n et on montre que la propriété est vraie au rang n+1 , donc la propriété est vraie au rang n.
(n+1)! \(\geq\) n(n+1) \(\geq\) n+1
3) \(u_{0}\)=1 ; \(u_{1}\)=2 ; \(u_{2}\)= \(\frac{5}{2}\) ; \(u_{3}\)= \(\frac{8}{3}\) ; \(u_{4}\)= \(\frac{65}{24}\) ; \(u_{5}\)= \(\frac{163}{60}\) et \(v_{5}\)= \(\frac{163}{60}\) + \(\frac{1}{120}\)= \(\frac{109}{40}\).
Mais après je bloque! est-ce bon ce que j'ai fait?
Merci de votre aide, d'avance!

[sos-math(22)]

Bonjour Bastien,

Je recopie ta réponse et fais des remarques en rouge.

1)Pour tout entier naturel n \(\leq\) 5, 5!= 120. Pour simplifier, je ne sais pas!

Voici une indication : \(\frac{n+1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{n! \times (n+1)}=...\)

2)On montre par récurrence que pour tout n \(\geq\) 1, que n! \(\geq\) n
Ce n'est pas utile de faire ici une démonstration par récurrence. Il te suffit d'utiliser la définition de \(n!\). Cependant, je corrige ci-dessous ce qui ne va pas.

* 1!=1\(\geq\)1 la propriété est vrai au rang 1
*Soit n \(\in\) IN, on suppose que la propriété est vraie au rang n et on montre que la propriété est vraie au rang n+1 , supprimer : donc la propriété est vraie au rang n.

Puis :
(n+1)! \(\geq\) n!(n+1) \(\geq\) n(n+1) \(\geq n+1\)

Ne pas oublier le factoriel et mettre en évidence l'utilisation de l'hypothèse de récurrence.


3) \(u_{0}\)=1 ; \(u_{1}\)=2 ; \(u_{2}\)= \(\frac{5}{2}\) ; \(u_{3}\)= \(\frac{8}{3}\) ; \(u_{4}\)= \(\frac{65}{24}\) ; \(u_{5}\)= \(\frac{163}{60}\) et \(v_{5}\)= \(\frac{163}{60}\) + \(\frac{1}{120}\)= \(\frac{109}{40}\). c'est juste


Bonne continuation.

[Bastien]

Pour la suite, je bloque!

[sos-math(22)]

Dis-moi ce que veut dire, par définition, que de deux suites sont adjacentes ?