triangle équilatéral

[Phoenicia]

bonjour,
Un triangle équilatéral T est inscrit dans un cercle de rayon 10 cm.
Donner une approximation de la variation de l'aire de ce triangle lorsqu'on diminue le rayon du cercle de 1 mm.
Je sais que l'aire=(B*h)/2 Comment faire on a 1 seul donnée?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Il faudrait trouver l'expression de l'aire du triangle équilatéral de côté a en fonction du rayon r de son cercle circonscrit.

D'abord , il faut faire une figure exacte. Le centre O du cercle circonscrit est aussi le centre de gravité du triangle.
Si on appelle H l'intersection de (OA) avec le coté [AB], alors [OH] est médiane et hauteur.
On sait que OA=(2/3)AH
Donc on peut trouver AH=1,5OA donc AH=1,5r
Si on considère le triangle HBA, le coté [AB] =a le côté du triangle équilatéral, et HB=a/2

En appliquant le théorème de Pythagore, dans HBA, on peut trouver a en fonction de r, et ensuite l'aire du triangle équilatéral en fonction de r.

Une fois cette expression trouvée, il sera facile de trouver la réponse à la question.

sosmaths

[Phoenicia]

merci je ne vois pas comment OA=(2/3)AH?

[SoS-Math(4)]

une petite erreur : H est l'intersection de (OA) avec le côté [BC], alors [AH] est médiane et hauteur.

sosmtahs

[Phoenicia]

pour le théorème de Pythagore c'est a²=AH²+(a/2)²?
pourquoi doit on chercher a en fonction de r?

[Phoenicia]

comment OA=(2/3)AH?

[SoS-Math(4)]

Cherche un peu tout seul.
Le forum débloque, mais ne mache pas le travail des élèves.

sosmaths

[Phoenicia]

merci a² est bien l'aire?

[Phoenicia]

est-ce que je peux partir de ma formule après et dire que A=(a*AH)/2?

[Phoenicia]

après je fais Δy=f'(x)*Δx donc ΔA=f'(R)*ΔR?

[SoS-Math(4)]

oui , c'est ça, mais d'abord tu simplifies l'expression de l'aire :

En effet 9/3 =3 et rac(R²) =R car R est positif.

sosmaths

[Phoenicia]

donc en simplifiant ça fait f(x)=rac3/2R*3/4R = (3 rac3)/8 R²et je dois faire f'(x)=(3 rac3)/4 R?

[Phoenicia]

en général est-ce que OA=(2/3)AH?

[SoS-Math(4)]

oui, ça a l'air bien.

AO=(2/3)AH c'est un résultat sur la position du centre de gravité dans un triangle. Ici O est le centre de gravité car le triangle est équilatéral.
C'est un résultat qui est général à tout triangle: Le centre de gravité d'un triangle se situe au 2/3 de la médiane en partant du sommet.

sosmaths