Nombre premier

[Antoine]

Bonsoir !
J'ai un petit problème au niveau d'un exercice sur les nombres premiers je vous explique

a. Vérifier que 173 est un nombre premier
==> Oui car aucun diviseur premier entre 0 et racine de 173...
Je vous épargne les calculs

b. Déterminer les couples d'entiers naturels tels que x² - y² = 173
==> Je vous épargne aussi, j'ai trouvé (87 ; 86)
Ainsi que (87 ; -86) (-87 ; -86) et enfin (-87 ; 86)

c. p est un nombre premier strictement supérieur à 2, déterminer les couples (x ; y) d'entiers naturels tels que x² - y² = p
==> J'ai pensé à faire (x-y)(x+y) = p

Comme p est un nombre premier forcément un des facteurs est 1 si je ne me trompe pas ?
Donc j'ai tenté de faire x-y = 1 et x+y = p ou l'inverse mais je n'arrive à rien de concluant..

J'ai voulu voir différents couples pour m'aider sans succès
J'avais réussi à trouver (3 ; 2) (4 ; 3) et d'autres...
Mais vu que l'on sait pas la valeur de p on va pas le faire à l'infini...
Donc je suis sûr qu'il y a une méthode et qu'elle m'échappe :/

Voilà voilà merci si vous pouvez m'aiguiller pour la fin :)

Bon week-end
Antoine

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Antoine,

Tout est exact, sauf la conclusion :
\(\left{\begin{x+y=p}\\{x-y=1}\\ \end{matrix} \right\)

Tu peux en déduire que \(2x=p+1\), tu n'as donc plus beaucoup de choix.

Une remarque : les carrés de \(n\) et de \(n+1\) sont toujours tels que \((n+1)^2-n^2=n+n+1=2n+1\)...

Bonne continuation

[Antoine]

Bonsoir,
Une fois que j'ai donc 2x = p + 1, qu'est-ce que j'en fais ou qu'est-ce que je dis en fait ?
Que x = (p + 1) / 2 et je cherche y ?

Je ne comprends pas trop aussi le truc du n
Apparemment on prend deux entiers consécutifs qu'on élève au carré et on retrouve un nombre impair ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Tu as x donc tu vas calculer y et conclure.

Ce que j'ai écris signifie que la différence de deux carrés de deux nombres consécutifs est le nombre impair égal à ces deux nombres.
Par exemple : 15² - 14² = 14 + 15 = 29 ou encore 13 = 7² - 6² ...
Ce qui te permet de répondre immédiatement car tous les nombres premiers sont impairs sauf 2.

bonne fin d'exercice

[Antoine]

Bonsoir,
On sait que x - y = 1 et que x + y = p
Donc 2x = p + 1
Ainsi x = (p + 1) / 2

Je trouve donc dans les deux cas, y = (p - 1) / 2

Donc voilà j'imagine que les couples solutions sont ceux-ci ?


Oui en effet tous les nombres premiers sont impairs sauf 2...
Donc avec votre phrase je précise que la différence entre deux termes consécutifs (qu'on aurait élevé au carré) est égale au nombre impair égal à deux nombres du coup...

D'accord merci mais dois-je encore préciser une chose à part celle-ci s'il vous plaît ?

Et dans mes couples solutions j'ai trouvé (x ; y) mais (-x ; -y) (x ; -y) et (-x ; y) fonctionnent aussi nan ?


Merci =)

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Antoine,

Ce que tu as fait est bien fait. Lors de la conclusion, tu dois effectivement balayer tous les cas possible comme tu l'as suggéré à la fin (c'est ce que tu as trouvé lors de la première question).
Par contre la phrase que tu as écrite n'est pas très juste... Je te propose : la différence des carrés de deux nombres consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres (c'est un nombre impair).

Bonne continuation.

[Antoine]

Bonsoir,
Je m'étais contenté de reprendre la phrase d'un de vos collègues qui avait posté au-dessus ^^

Par contre oui je comprends mieux votre phrase, elle me parle mieux donc on doit bien dire
"La différence des carrés de deux termes consécutifs est égale à la somme de ces deux termes"

Merci beaucoup pour votre coup de main (tout le monde bien sûr)

En vous remerciant,
Bon week-end

Antoine

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Antoine,

Cette phrase peut être écrite différemment, il faut juste qu'elle garde du sens...

Bonne continuation.