Suite de Fibonacci

[Anna]

Bonjour,
je viens d'apprendre que j'ai un dm pour vendredi, et je ne connais rien sur les suites , S'il vous plait j'ai besoin d'aide
Soit (Fn)n\(\in\)N la suite d´efinie par F0 = 1, F1 = 1 et pour tout n \(\in\) N par Fn+2 = Fn+1 + Fn.
1. Limite et variations de (Fn)n2N.
(a) Montrer par récurrence la propriété suivante pour tout n \(\in\) N : P(n) : Fn \(\geq\)n et
Fn+1\(\geq\)n + 1.
(b) En déduire la limite et le sens de variation de la suite (Fn).

2. Limite de Fn+1/Fn
Soit (un) la suite définie sur N par un = \(\frac{Fn+1}{Fn}\). On définit également les suites (vn) et (wn) par
\(v_{n}\)= \(u_{2n}\) \(w_{n}\) = \(u_{2n+1}\) pour tout n \(\in\)N.
(a) Démontrer que pour tout n \(\in\) N, un+1 − un = \((-1)^{n}\)/ FnFn+1.
(b) En déduire \(lim_{n \to +\infty}\)un+1 − un = 0, ainsi que le sens de variations de la suite (wn) et celui de la suite (vn).
(c) Montrer que les suites (wn) et (vn) sont adjacentes. En déduire que (un) converge vers une limite ℓ \(\in\) R.
(d) Montrer que pour tout n \(\in\) N, un+1 = 1 +\(\frac{1}{u_{n}}\). En déduire la valeur de ℓ.

S'il vous aidez-moi, merci d'avance de votre aide!

[SoS-Math(1)]

Bonjour Anna,

Le but de ce forum est de vous aider à trouver la solution mais pas de faire le travail à votre place.
Veuillez reformuler votre demande en expliquant ce que vous avez déjà fait.

A bientôt.

[Anna]

Voila ce que j'ai fait:
1) a)Je ne sais pas!
b)J'avoue je ne sais pas!
2)a)\(F_{n+2}\) = \(F_{n+1}\) + \(F_{n}\) et que \(u_{n+1}\)-\(u_{n}\)= \(\frac{F_{n}(F_{n+1}+F_{n}) - (F_{n+1})^{2}}{F_{n}F_{n+1}}\) mais après je ne vois pas!
b)un+1 − un = (-\(1^{n}\))/ FnFn+1, lim (-\(1^{n}\))= 0 et lim FnFn+1=1 donc lim (-\(1^{n}\))/ FnFn+1=0
c)Je sais que deux suites (\(w_{n}\)) et (\(v_{n}\)) sont dites adjacentes si \(w_{n}\) \(\leq\) \(v_{n}\), ou (\(w_{n}\)) est croissante et (\(v_{n}\)) est décroissante.
d) Je ne sais pas!

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Commençons par la première question
Montrez d'abord que F0>=0 et F1 >= 1
Ensuite supposons que Fn >=n et F(n+1)>= n+1
en déduire que F(n+1)>= n+1 et F(n+2)>=n+2

Bon courage

[Anna]

Bonjour,
Je n'ai toujours pas compris les 2 premières question!

[sos-math(20)]

Bonsoir,

Il faut revoir votre cours sur le raisonnement par récurrence.

Bon courage.

SOS-math

[Anna]

Bonsoir,
J'ai compris le cours sur le raisonnement par récurrence mais ici, pour l'hérédité je ne vois pas comment faire!

[sos-math(20)]

Bonsoir,

Vous supposez que \(F_n \geq n\) et que \(F_{n+1} \geq n+1\); alors vous pouvez en déduire que \(F_{n+2} \geq {...}\) car \(F_{n+2}=...\).

Je vous laisse continuer.

SOS-math

[Anna]

Mais comment le montrer?

[sos-math(20)]

Désolée Anna, mais je ne comprends pas votre interrogation, votre question.

Relisez bien l'ensemble des messages, il semble que vous n'ayez pas pris en compte toutes les indications.

A bientôt.

SOS-math

[Anna]

C'est bon J'ai réussi à le faire, j'ai compris grâce à vous, Merci !