Méthode de Héron. Approximation de racines carrées

[Maya S]

Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide, je viens juste d'apprendre que j'ai un exercice à faire pour vendredi! Si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider, ce serait gentil! Je ne comprends pas le chapitre des suites!

Soit a \(\geq\) 1 un nombre réel. Soit (un)n\(\in\)N la suite définie par u0 = a et un+1 =\(\frac{1}{2}\)( \(\frac{a}{un}\) + un).
1. Montrer que pour tout n \(\in\) N, un \(\in\) [\(\sqrt{a}\), a].
2. Montrer que la suite (un) est décroissante. Qu’en déduire ?
3. Montrer que la limite ℓ de (un) vérifie ℓ = \(\frac{1}{2}\)( \(\frac{a}{ l }\) +ℓ ). En déduire ℓ.
4. Vitesse de convergence.
Soit (vn) la suite définie par vn = un − \(\sqrt{a}\). (vn mesure l’écart entre un et \(\sqrt{a}\)).
Dans cette partie, on suppose que a = 2.
(a) Montrer que vn+1 = \(\frac{vn^{2}}{2un}\) pour tout n \(\in\) N.
(b) Prouver par récurrence que vn \(\leq\) \(\frac{1}{2^{2n} }\) pour tout n \(\in\) N
(c) Majorer l’écart entre \(u_{3}\) et \(\sqrt{2}\) par une puissance de 10.
(d) A partir de quel n peut-on dire que \(u_{n}\) approche \(\sqrt{2}\) avec au moins 1000 décimales
exactes ? (vn < \(10^{-1000}\))

Merci d'avance!

[SoS-Math(11)]

bonsoir,

Je n'arrive pas à lire ton message, il y a des symboles qui ne doivent pas s'afficher : Soit \(a \geq 1\) un nombre réel. Soit \((un)n\in N\)la suite définie par \(u0 = a\)et \(un+1 =\frac{1}{2}( \frac{a}{un} + un\)).

Peux-tu préciser l'énoncé, merci.

[Maya S]

Désolé
Soit a \(\geq\) 1 un nombre réel. Soit (\(u_{n}\)), n \(\in\) N la suite définie par \(u_{0}\) = a et \(u_{n+1}\)=\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{a}{u_{n}}\)+\(u_{n}\))

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

En premier tu dois savoir que pour a et b positifs : \(sqrt{A\times{B}}\leq\frac{A+B}{2}\).
Applique cette propriété à \(\frac{a}{u_n}\) et \(u_n\) pour trouver que \(u_{n+1}\geq{sqrt{a}}\).
Comme \(u_n \leq{a}\) tu en déduis directement que \(u_{n+1}\leq{a}\).

Ensuite calcule \(u_{n+1}-u_n\) et vérifie que cette différence est négative pour obtenir la décroissance de la suite.

La suite est décroissante et minorée par 1 ou par \(sqrt{a}\) déduis-en la convergence. Ensuite pense que \(u_n\) et \(u_{n+1}\) ont la même limite \(l\) et déduis-en l'égalité, résout alors l'équation du second degré obtenue pour conclure.

Bon courage

[Maya S]

Bonjour,
Je ne comprends pas!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Tu as \(u_{n+1}=\frac{\frac{a}{u_n}+u_n}{2}\), c'est la moyenne (arithmétique) de \(\frac{a}{u_n}\) et de \(u_n\), elle est supérieure à \(\sqrt{\frac{a}{u_n}\times{u_n}}\) tu dois pouvoir en déduire l'encadrement de \(u_{n+1}\) .

Bon courage

[Maya S]

Bonsoir,
C'est bon j'ai réussi à le faire, mais pour le 4c et 4d je bloque!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Pour le 4c tu dois majorer \(u_3-\sqrt 2\) c'est à dire \(v_3\) tu peux donc utiliser la majoration du 4b.
Ensuite remarque que le majorant de l'écart est à chaque fois divisé par 4, car \(2^{2n}=4^n\) tu peux donc en déduire la réponse au 4d.

Il y a de meilleures majorations, et je pense que dès \(n = 11\) on a une précision avec 1000 décimales, ce que tu ne peux pas démontrer avec \(v_n<\frac{1}{4^n}\), mais je peux me tromper.

Bon courage

[Maya S]

Bonjour,
pour la majoration je ne vois pas!

[sos-math(20)]

Bonjour Maya,

D'après la question 4b), tu sais que \(v_3 \leq \frac{1}{2^{2 \times 3}}\), et tu sais aussi que \(v_3=u_3-\sqrt{2}\). Tu as donc \(u_3-\sqrt{2}\leq \frac{1}{2^{2 \times 3}}\) donc \(u_3 \leq ....\).

Bon courage pour la suite.

SOS-math