etude d'une fonction

[baptiste]

Bonjour j'ai un exercice en maths et j'avou que j'ai des difficultés à comprendre:

Soit la fonction f définie sur [0; +oo[par f(x) = sin x - x + (x^3/6)

1. Calculer les dérivées successives f' ; f'' ; f'''

2. Déterminer le signe de f(x) en étudiant successivement les variation des fonctions f'' ; f' et f.

3. Prouvez que, pour tout nombre réel x(superieur ou egal) à 0, x- (x^3/6) est (inferieur ou egal ) à sinx (inferieur ou egal) à x.
Quel encadrement en déduit on pour x(inferieur ou egal )à 0 ?

4. Soit g la fonction définie sur R par g(0) = 1 et si x (différent) de 0, g(x) = sin x / x.

Démontrer que g est continue et dérivable en 0. Indiquer g'(0).


voila alors je vais vous dire qu'est ce que je n'ai pas exactement comprit.
pour commencer je sais comment résoudre la 1. mais je ne sais pas quel formul de la dérivée utiliser. je sais que c'est sin(u) mais pour -x+(x^3/6) je vois pas.
pour la 2. faut faire un tableau de variation ?
la 3. je n'ai pas la piste et la 4. non plus.
Ne vous inquietez pas je ne demande pas une résolution je veux juste qu'on m'aide a la progression de l'exercice afin de le résoudre.
merci.

[SoS-Math(4)]

Bonjour Baptiste,


Pour les dérivées , il suffit de savoir dériver x^n ce qui donne nx^(n-1).

Pour 2) il faut étudier le signe des dérivées et faire les tableaux de variation.

pour 3) il faudra utiliser les résultats de la question 2.

pour 4) il faut étudier la limite de g(x) lorsque x tend vers 0, pour vérifier que g est continue . ( voir cours)
et pour la dérivabilité en 0, la limite de g(x)-(g0)/x lorsque x tend vers0 0.

sosmaths

[baptiste]

merci d'avoir répondu, je vais essayer et je vous communiquerais ce que j'ai trouvé . par contre pour la 4.je comprend pas pour la dérivabilité en 0.

[SoS-Math(4)]

c'est (g(x)-g(0))/(x-0) ( voir cours)ce qui est égal à ((sinx /x)-1)/x

Ensuite il faut calculer la limite de cette expression lorsque x tend vers 0. Tu vas tomber sur une forme indéterminée, et je pense qu'il faudra utiliser l'encadrement de sinx trouvé à la question 3.

sosmaths

[baptiste]

je vous remerci d'avoir répondu. je vais retravailler ça par contre je pense que je dirais ce que j'ai trouvé dans quelques jours le temps que je cherche ...ce qui je pense va me prendre du temps

[SoS-Math(2)]

Bonjour Baptiste,
bon courage et nous attendons donc votre prochain message.

[baptiste]

bonjour!
dsl d'avoir tardé pour répondre.
voici mes réponses:
1)f' =cosx-1 + (xcarré/2)
f'' = -sinx +x
f'''= -cosx +1
2) j'ai trouvé que le signe de f(x) est positif mais je sais pas trop comment justifier.
par exemple je sais pas pour le tableau de signe de f''' comment on fait pour le cos . c'est bien positif sur 0;+00 c'est tout ?
3)prouver que... (je sais pas comment faire)
quel encadrement en déduit on...(je pense que c'est x (inferieur ou egal)sinx (inferieur ou egal) x-(xcube / 6) )
pas besoin de justifier ici ?
4)j'ai trouvé que g est bien continu en 0.
par contre pour la derivabilité je suis toujours bloqué
et quand c'est dit indiquer g'(0) c'est le résultat de la dérivabilité ?

merci de m'aider

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Baptiste,

2) Il faut démontrer (assez simple) que f'''(x) < 0 sur ]0 ; +inf[
donc f'' est décroissante sur ]0 ; +inf[, donc pour tout x de ]0 ; +inf[ f''(x) < f''(0) = 0.

Maintenant tu connais le signe de f'', donc tu peux déterminer les variations de f' qui te donneront (peut-être) le signe de f' ...

3) Es-tu sûr de ton encadrement pour x > 0, \(x-\frac{1}{6}x^3\leq{}sin x\leq{}x\) ?
Graphiquement (et par le calcul) on trouve pour x > 0, \(sin x\leq{}x-\frac{1}{6}x^3\) ...

4) Il faut calculer la limite en 0 du taux de variations de g en 0 (\(\lim_{x \to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\)).

SoSMath.

[albane]

J'ai plus ou moins cet exercice la à faire en devoir maison. En ce qui concerne les dérivée seconde et les dérivés troisième, je trouve :
f"' = -cos(x) + 2/3
f" = -sin(x) +2x/3
f' = cos(x) -1 + x²/3

Je sais que je fais beaucoup d'erreurs de calculs mais je n'arrive pas à trouver mon erreur

[SoS-Math(9)]

Bonjour Albane,

ton erreur vient de la dérivé de f ....
f(x) = \(sin(x)-x+\frac{1}{6}x^3\)

donc f '(x) = \(cos(x)-1+\frac{3}{6}x^2\) et \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) et non \(\frac{1}{3}\).

SoSMath.

[albane]

Merci beaucoup.
Albane

[baptiste]

bonjour, je suis vraiment perdu dans cet exercice je vous assure j'y arrive vraiment pas surtout dans le 3 pour l'encadrement.
et je voulais vous demander quel était le tableau de variation de f"' avec le cos car pour trouver le signe de f je sais pas par ou commencer, je sais que vous avez essayé de m'expliquer mais par exemple je vois pas pourquoi on doit faire f'(0) = 0.
la question 4 je pense que c'est bon mais quand ils mettent indiquer g'(0) ca veut dire quoi ?
Vraiment désolé d'avoir du mal pour la compréhension mais vraiment j'ai essayé pourtant depuis que je suis en vacances

[SoS-Math(4)]

Bonsoir

f '''(x)=1-cos x tu sais que cosx<=1 donc f '''(x)>=0 donc f'' est une fonction croissante sur [0 ; +inf[. Ensuite tu calcule f''(0) et tu déduis le signe de f''. Donc tu déduis les variations de f' etc etc.



sosmaths

[Grégoire]

Bonjour j'ai le même exercice et moi j'aurais juste une question. c'est pour la 2. comment justifier le signe de f'(x) et les variations de f. en sachant que les variations de f"' et f'' c'est réglé pour moi normalement. je sais que le signe de f'(x) c'est positif et que f est croissante mais je sais pas comment justifier
aidez moi s'il vous plait :)
merci

[SoS-Math(2)]

Bonsoir Grégoire ,
vous savez que votre fonction est croissante sur [0, +inf[
donc pour tout x >=0, f(x)>=f(0)
A vous de continuer