Equation de tangente et position relative

[Invité]

Bonjour ! Je bloque depuis 2 jours sur cet exercice :

f est la fonction définie sur Df = R \ { -1;1 }

f(x) = |x+1| + x / (x\(2\) - 1)

Trouvez une équation de la tangente T à Cf au point A d'absisse 0. Etudiez le position relative de Cf par rapport à T.

J'ai d'abord dit que pour x > 0 : f(x) = (x\(3\) + x\(2\) - 1) / (x\(2\) - 1)
et pour x < 0 : f(x) = ( -x\(3\) - x\(2\) + 2x +1) / (x\(2\) - 1)

ensuite j'ai calculé la dérivée :

Je trouve pour x > 0 : f'(x) = (x\(4\) - 3x\(2\)) / (x\(2\) - 1 )\(2\)
et pour x < 0 : f'(x) = ( -x\(4\) + x\(2\) - 2) / (x\(2\) - 1)\(2\)

Ensuite j'ai trouvé pour l'équation de la tangente y = 1, puis pour la position relative j'ai fait la différence f(x) - 1 pour x > 0 et je trouve : fe est en dessous de f sur ] 0;1 [ et f est au dessus de y sur ] 1 ; +∞ [

j'arrive pas pour x < 0

Pouvez-vous m'aider ?

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
vous avez fait une erreur dès le départ.
La valeur 0 ne joue aucun rôle pour |x+1|
x+1>0 qd x>-1 et x+1<0 quand x < -1
donc qd x>-1, |x+1| = x+1 et qd x <-1 |x+1| = -x - 1

qd x =0, vous êtes dans le cas où x> -1 donc f(x) = x + 1 + x/(x²-1) = (x^3 + x²- 1) / (x² - 1)

A vous de continuer

[Invité]

D'accord mais ce que j'arrive pas c'est étudier le signe de f(x) - 1 pour x<-1
Je trouve que f(x) - 1 = ( -x\(3\) - 2x\(2\) + 2x + 2 ) / ( x\(2\) - 1 )

Comment étudier le signe de ce truc ????

[SoS-Math(4)]

Bonjour

C'est pas facile, il n'y a pas de factorisation simple possible .
Seulement vous pouvez le faire en utilisant la calculatrice.

Vous saisissez le numérateur : n(x)= \(-x^3-2x²+2x+2\) et vous visualisez sa courbe . Vous constatez que n(x) s'annule pour x environ égal -2,48. Vous pouver même étudiez n sur ]- infini, -1[ et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Ensuite l'étude du signe est simple.

bon courage
sosmaths