Etude de Fonction (exp) TermS

[Aleanna]

Voici la Partie B d'un Exercice avec lequel J'ai beaucoup de mal malheureusement.
Énoncée Générale:
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O;i;j )
On s'intéresse aux fonctions f dérivables sur [ O; +∞[ vérifiant les conditions:

{(1): pour tout réel x appartenant à [ O; +∞[ f'(x)=4-(f(x)²
(2): f(0)=0

On admet qu'il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2).

Partie B, Étude d'une fonction

Soit g la fonction définie sur [ O; +∞[ par g(x)=2 (e^4x -1)/(e^4x +1) et Gg sa courbe représentative.

1) Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2)
2)a) Montrer que (Cg) admet une asymptote ∆ dont on donnera une équation.
b) Étudier les variation de g sur [ O; +∞[
3) Déterminer l'abscisse ∝ du point d'intersection de ∆ et de la Tangente à (Cg) à l'origine.

J'ai réussi à montrer que la fonction vérifie la condition 2 :

g(o)=2*((e^4*0 -1)/(e^4*0 +1))
=2*((e^0-1)/(e^0+1))
=2*((1-1)/(1+1))
=0

Mais je n'arrive pas a faire la dérivé de la fonction :/

[sos-math(22)]

Bonjour,

Il faut calculer la dérivée de \(g\).

\(g\) de la forme \(2\times \frac{u}{v}\) avec \(u(x)=e^{4x}-1\) et \(v(x)=e^{4x}+1\).

Je vous aide en vous faisant remarquer que : \(u^{,}(x)=4e^{4x}\).

Ensuite il faut calculer \(4-(g(x))^2\) et constater que l'on obtient le même résultat.

Bonne continuation.

[Aleanna]

La suite J'n y arrive pas non plus :/
mais je trouve un résultat qui correspond pas:
On a h(x)= e^4x
=>h'(x)=4e^4x

Donc On dérive g(x)= 2* ((u'v*v'u)/v²)
= 2* (4e^4x*(e^4x +1)- 4e^4x*(e^4x -1) )/(e^4x+1) ²
= 2* 4(e^4x)²+4e^4x -4(e^4x)²+4e^4x
=2* 8e^4x/(e^4x+1)²
= 16e^4x/(e^4x+1)²

[sos-math(22)]

Je reprends ton calcul et corrige en rouge :

On dérive g(x)= 2* ((u'v-v'u)/v²)
= 2* (4e^4x*(e^4x +1)- 4e^4x*(e^4x -1) )/(e^4x+1) ²
= 2* 4(e^4x)²+4e^4x -4(e^4x)²+4e^4x dénominateur oublié
=2* 8e^4x/(e^4x+1)²
= 16e^4x/(e^4x+1)²

ensuite tu calcules \(4-(g(x)^2)\) et tu compares.

Bonne continuation.

[Aleanna]

Merci !
Jai fais la comparaison Mais Je pense avoir fait des erreurs de calcul
D'un coté je trouve

4-(g(x))²= 4- (2 (e^4x -1)/(e^4x +1))²
= 4(e^4x +1)²/(e^4x +1)² - (2e^4x-2)²/(e^4x +1)²
=(4e^4x +4)²- (2e^4x-2)²/(e^4x +1)²
=(4e^4x)²+2*4e^4x*4+4²-( (2e^4x)²-2*2e^4x*2+2²)/(e^4x +1)²
=(4e^4x)²+32e^4x+16-(2e^4x)²+8e^4x-4/(e^4x +1)²
=(2e^4x)²+24e^4x-4/(e^4x +1)²

J'menmèle les pinceaux ...
D'un autre Coté j'trouve 64e^4x/(e^4x +1)² parce que = 4(e^4x +1)²/(e^4x +1)² - (4e^4x-4)²/(e^4x +1)²

Je change le 2 en 4

Puis Pour l’asymptote ∆ Comme on a lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 Alors La courbe (Cg) Admet une asymptote horizontale d’équation y=2 ?

[sos-math(22)]

Je te laisse corriger tes erreurs de calculs. Par contre, je te confirme que tu dois trouver dans les deux cas :

\(\frac{16e^{4x}}{\left( e^{4x}+1\right) ^{2}}\)

Pour l'asymptote d'équation y=2, c'est bon, à condition de bien détailler le calcul de la limite en +oo, car c'est une forme indéterminée.

[Aleanna]

Je reverrai mon calcul plus tard :p

Pour le détaille de la limite je trouve :
lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 (e^4x -1)/(e^4x +1)

On a d'une part : lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x -1)/(e^4x +1)〗=lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x)/(e^4x)〗=1
(car = lim du polynome de plus haut degré ?)

donc on a lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 *1 =2

:) ?

[sos-math(22)]

Oui, mais pour appliquer cette règle que l'on utilise pour les fonctions rationnelles, il faudrait rendre explicite la composition avec \(e^x\).

Sinon, le plus simple est de factoriser numérateur et dénominateur par \(e^{4x}\) et de simplifier par \(e^{4x}\).

[Aleanna]

]On a lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 (e^4x -1)/(e^4x +1)

lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x -1)/(e^4x +1)〗= lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x(1 -(1/e^4x))/(e^4x (1+(1/e^4x))〗

Et lim┬(n→+∞)⁡〖(1/e^4x)〗= 0 Donc on a lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x(1 -0)/(e^4x (1+0)〗
lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x/(e^4x 〗=1

Donc
donc on a lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 *1 =2


:D ?
Je continue l'exercice
Donc Pour l’asymptote ∆ Comme on a lim(n -> +∞)⁡g(x)=2 Alors La courbe (Cg) Admet une asymptote horizontale d’équation y=2

b) On a :
g'(x)= 16e^4x/(e^4x+1)²

La fonction exp est strictement positive donc on a d'une part 16e^4x positif
et d'autre part (e^4x+1)² positif
Donc 16e^4x/(e^4x+1)²≫0 (tableau ci joint)

Tableau de variation

23.png (3.3 Kio) Vu 2232 fois

Pour l'abscisse ∝ du point d'intersection de avec la tangente à (Cg) à l'origine:
(La tangente est-elle juste sur le graphique ?)

Graphique

Determinons M(∝;2)

On fait un système d'équation avec l'équation de ∆ y=2
et celle de la tangente (elle passe par l'origine donc y=ax

Donc 2=ax ?

[sos-math(22)]

Tout ce que tu as fait me semble correct , c'est bien.
Dernier point : il est très facile de calculer l'équation de la tangente en 0.
y=f ' (0) x + f(0)

[Aleanna]

Déterminons l'équation de la tangente à (Cg) à l'origine donc : (Passe par l'origine donc y=ax)

y=g ' (0) x + g(0) en sachant que g(0)=0 On a :
y=g'(0) x <=> y=16 e^4*0/(e^4*0 +1)² x
y=16*1/2² x
y=16/4 x Donc y=4x

On a le point M (∝;2) intersection de et de la tangente:
y=2
y=4x
2=4x donc x=2/4=0.5

L'abscisse ∝ est 0.5 ?

En tout cas Merciiii Vraiment Vous m'avez été d'une grande aide ! C'est adorable de votre part :)

[sos-math(20)]

Bonjour,

Tout semble correct.

Bonne journée.

SOS-math