exercice sur les suites

[Laurence]

Bonjour, je suis bloquée à une question, la voici: Etablir la relation (Un+1)-Un= -(Un-1)²/(Un+3)
Je sais que U0=2; Un+1=(5Un-1)/(Un+3). Precedemment j'ai :a)-Vérifié que pour tout n appartient à IN, Un+1=5-(16)/(Un+3)
b)-Démontré que, pour tout n appartient à IN, Un appartient à [1;2]
Pour l'instant j'ai essayé d'exprimer Un en fonction de Un+1 à partir du a) mais ça ne donne vraiment rien. Merci d'avance pour votre aide car je ne sais comment démarrer.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Laurence,

Il faut utiliser l'expression de \(u_{n+1}\) pour calculer \(u_{n+1}-u_n\).

\(u_{n+1}-u_n=\frac{5u_n-1}{u_n+3}-u_n=...\)

SoSMath.

[Laurence]

Merci, j'ai pu trouver le résultat indiqué dans la question,on me demande ensuite d'en déduire le sens de variation.
Le résultat trouvé nous indique que Un+1-Un \(\leq\)0
Un+1\(\leq\)Un Donc la suite (Un) est décroissante pour tout n \(\in\)IN. Est-ce correct ?
On me demande ensuite de démontrer que U converge et de determiner sa limite l.
Je sais que toute suite converge si elle admet une limite finie, cependant pour determiner la limite de la suite (Un) il faudrait que j'exprime Un en fonction de n mais je ne sais pas comment procéder car les formules que je connais s'appliquent pour des suites arithmétiques ou géometriques. Merci pour votre aide

[SoS-Math(9)]

Bonjour Laurence,

Oui la suite est décroissante.

Tu as dû voir le théorème suivant :
Si \((u_n)\) est décroissante et minorée, alors elle converge.

Ensuite pour déterminer la valeur de la limite, on utilise le fait qu'elle converge et on nomme \(l\) sa limite.
Alors \(\lim_{n \to +\infty}u_n=\lim_{n \to +\infty}u_{n+1}=l\).

Mais \(u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}\), donc \(\lim_{n \to +\infty}u_{n+1}=...\).

Il te reste alors à résoudre l'équation \(l=...\)

SoSMath.

[Laurence]

Bonjour, pour la limite de Un+1 je trouve 5 mais cela me semble faux, aussi je ne vois pas quelle équation il faut résoudre avec la limite .

[SoS-Math(9)]

Laurence,

Si \(\lim_{n \to +\infty}u_n=l\) alors \(\lim_{n \to +\infty}5u_n-1=...\) et \(\lim_{n \to +\infty}u_n+3=...\) (réponse en fonction de \(l\))
donc \(\lim_{n \to +\infty}\frac{5u_n-1}{u_n+3}=...\)

A toi de compléter.

SoSMath.

[Laurence]

Et bien en fonction de l cela fait (5l-1)/(l+3) ?

[SoS-Math(9)]

Oui, Laurence !

donc tu sais que la limite de \(u_{n+1}\) en \(+\infty\) est \(l\) et \(\frac{5l-1}{l+3}\).

Or la limite d'une suite convergente est unique, donc \(l\) est solution de l'équation \(\frac{5l-1}{l+3}=l\).

SoSMath.

[Laurence]

D'accord, merci infiniment pour votre aide !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Laurence,

SoSMath.