Limite d'une fonction

[Needhelp]

Bonjour,

Je suis en train de faire des exercice sur les limites mais je bloque sur une question :

Soit :
\(f(x)=\sqrt{x^2+4x+12}-x+2\)
Montrer que :

\(lim \sqrt{x^2+4x+12}-x+2=4\)
\(+\infty\)

Quand je fais mes calculs, je trouve :
Pour x>0
\(\sqrt{x^2+4x+12}-x+2=x(\sqrt{\frac{x^2+4x+12}{x^2}}{-1+\frac{2}{x})\)

Grâce au théorème sur la limite d'une fonction rationelle, je trouve :
\(lim \sqrt{\frac{x^2+4x+12}{x^2}}=1\)
\(+\infty\)

Donc :
\(lim f(x)\)
\(+\infty\)

\(= lim x(\frac{2}{x})\)
\(+\infty\)

\(= 2\)

Je ne comprends pas où je me suis trompé.
Pouvez-vous m'aidez à trouver mon erreur s'il-vous-plaît ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,

Grâce au théorème sur la limite d'une fonction rationelle, je trouve :
\(lim \sqrt{\frac{x^2+4x+12}{x^2}}=1\)
\(+\infty\)

Donc :
\(lim f(x)\)
\(+\infty\)

\(= lim x(\frac{2}{x})\)
\(+\infty\)

\(= 2\)

La limite de la racine est correcte mais c'est la suite qui est fausse.
Vous devez d'abord calculer la limite de toute la parenthèse qui est 0 donc vous arrivez à une forme indéterminée.
Donc ce n'est pas la bonne méthode.
Avez-vous essayé la méthode qui utilise l'expression conjuguée et que vous avez du voir en cours.
En voici un rappel
http://ww2.ac-poitiers.fr/math/IMG/pdf/lim_conju.pdf

Bon courage

[Needhelp]

Bonjour,

Si j'ai bien compris, il faut que j'utilise le conjugué de cette expression :
\(\sqrt{x^2+4x+12}-x+2 = \sqrt{x^2+4x+12}-(x-2)\)

C'est-à-dire
\(\sqrt{x^2+4x+12}+(x-2)\)
?

Encore merci pour votre aide.

[SoS-Math(2)]

Oui, vous avez bien compris.

[Needhelp]

En utilisant cette expression, je tombe sur :

\(lim f(x) = lim \frac{8x+8}{\sqrt{x^2+4x+12}+x-2}\)
\(+\infty\)

Comment dois-je faire pour continuer ?

[sos-math(20)]

Bonjour,

Une petite chose que nous avons omis de vous préciser : merci de vous connecter avec votre prénom la prochaine fois, cela rend les échanges plus conviviaux.

Je vous invite à reprendre votre dernier calcul car le numérateur est faux.

Bon courage.

SOS-math

[Needhelp]

J'ai refait les calculs, pourtant je ne trouve pas l'erreur :

Si je multiplie le numérateur par son conjugué, j'obtiens :
\((\sqrt{x^2+4x+12}-(x-2))*(\sqrt{x^2+4x+12}+(x-2))\)
\(=\sqrt{x^2+4x+12}^2 - (x-2)^2\)
\(=x^2+4x+12-(x^2-4x+4)\)
\(=8x+8\)

[sos-math(20)]

Bonjour,

Désolée,
J'étais allée trop vite ! Votre résultat est en effet correct.

Bonne journée.

SOS-math

PS : je vous ai déjà demandé de vous connecter avec votre prénom, merci de respecter cette consigne.