Travailler la démonstration

[Emilie]

Bonsoir,

J'ai un exercice dans un DM à faire et j'ai besoin d'aide.

Voici l'énoncé :

Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X) notée aussi m, et d'écart type non nul (X), noté .
Soit Y la variable aléatoire, définie par Y=X-m
σ
Démontrer que E(Y) = 0 et σ (Y) = 1.


J'ai trouver un autre post où un correcteur donner la réponse mais je n'ai rien compris c'est pourquoi je vous demande de m'expliquer. et s'il y a une autre façon plus facile de répondre à l'exercice.

Voici la réponse :

E(Y)=E[(X-m)/σ]=1/σE(X-m)=1/[E(X)-E(m)]
Or, E(m)=m car m est une constante et E(X)=m, donc E(Y)=0

de même,
sachant que σ=√[V(Y)] avec V(Y) variance de Y
et V(Y)=V[(X-m)/σ]=1/σ²V(X-m) et sachant que V(X-m)=V(X) on a alors :
V(Y)=1/²V(X) avec V(X)=², cela donne enfin V(Y)=σ²/σ²=1


Merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Emilie,

Pour faire cette démonstration, il faut utiliser les définitions ....
Tout d'abord on pose x1, x2, ...., xn toutes les valeures prises par la variable aléatoire X auxquelles on associe respectivement les probabilités p1, p2, ..., pn.
Alors pour l'espérence \(m=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n\) et pour la variance \(V=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+...+(x_n-m)^2p_n\).

Avec cela tu peux définir Y (valeurs prises par y1, ..... yn et la probabilité associée à chaque valeur) puis calculer E(Y) et V(Y).

SoSMath.