Explication démonstration ( exponentielle )

[Remy]

Bonjour ,

j'aurais besoin de quelques explications d'une démonstration de cours que je ne comprend pas :

on veut démontrer la relation pour tout réels a et b exp(a+b) = exp(a) * exp(b)

je ne comprend pas le début de la démonstration d'ou vient g(x) = f(a+b-x)*f(x) :

démo:

Propiètés

1/ La fonction exponentielle est dérivable sur IR et sa dérivée est égale à elle -même exp'(x) = exp(x)
2/ la fonction exponentielle est continue sur IR et exp(0)=1

1/ et 2/ découlent de la définition de la fonction exponentielle

3/ Par commodité n on note f(x) = exp(x) et on pose g(x) = f(a+b-x) * f(x)

La fonction g est dérivable sur IR , comme produit de 2 fonctions dérivables sur IR

On a :

G(x) = -1 * f' ( a+b-x) * f(x) + f(a+b-x) * f' (x)

or f'x) = f(x) donc :

g'(x) = -f(a+b-x)*f(x) + f(a+b-x) * f(x)
g' (x) = 0

La fonction est donc constante sur IR

g'(0) = f(a+b-x) *f(0) = f(a+b) *1 = f(a+b)

G(b) = f(a+b-x) * f(b) = f(a) * f(b) Pourquoi g(b) ???

Puisque g est constante : g(0) = g(b) équivaut à f(a+b) = f(a) * f(b)

équivaut à exp(a+b) = exp(a)*exp(b)

merci de votre aide :)

[SoS-Math(1)]

Bonjour Rémy,

Pour le début de la démonstration, on pose une fonction g qui va permettre de démontrer le résultat.

Pour ce que tu as écrit en rouge, on aurait aussi bien pu calculer g(a) = f(b)f(a).

Quelques remarques pour la démonstration que tu as recopié:
C'est des "petits g" partout.
Juste avant le rouge, c'est g(0) et non g'(0).

A bientôt.