DM Nombres complexes

[Florian]

Bonjour, j'ai un DM sur les nombres complexes à rendre le 3 novembre, voici l'énoncé :
I) On considère l'équation (E) z² = -9 -40i.
1)a) On pose z = a + ib. Montrer que z est solution de (E) si et seulement si on a :
{a²-b² = -9
{ab = -20
{a²+b² = 41
b) En déduire les solutions de (E).
2) Résoudre dans C, l'équation z^4 + 18z² + 1681 = 0.

II) On pose z = x + iy (s et y réels)
a) On considère, pour z différent de 1, le complexe Z = (z - 2i)(conjugué de z + 3)
Exprimer en fonction de x et de y la forme algébrique de Z.
b) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels Z est un réel.
c) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels Z est un imaginaire pur.


Dans le I), je n'ai pas compris comment utiliser les 3 égalités pour montrer que z est solution de (E). Pour la question 2), j'ai posé Z = z² et j'ai utilisé le discriminant. Cepdendant je trouve un nombre négatif. Je pense donc qu'il y a une autre solution pour résoudre l'équation mais dans ce cas, je ne sais pas laquelle. Dans le II) a), j'ai remplacé z par x + iy et le conjugué de z par x iy. Mais je ne sais pas si ce que je trouve est bon (je trouve Z = x(x+3) - iy (iy + 2iy + 3iy + x +6). Etant donné que l'on a à peine vu les affixes, je ne sais pas comment répondre aux questions b) et c).
Merci d'avance de votre aide.

[sos-math(12)]

Bonjour :

Juste pour t'aider à démarrer :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Cela devrait te permettre de débuter ton dm.

Bonne continuation.

[Florian]

Bonjour,
j'ai demandé à un prof de maths que je connais de me donner des pistes. Voici ce qu'il m'a donné :
z²=a²-b²+i(2ab) on identifie : a²-b²=-9 et 2ab=-40
mais aussi |z|=[-9-40i|=rac(1681)=41 et |z|=rac(a²+b²)
de a²-b²=-9 et a²+b²=1681 on tire 2a²=1672 soit a=±rac(836)
et b²=836+9 donne b=±rac(845)
cela donne a priori 4 solutions mais 2 seulement vont vérifier ab=-20

Est-ce bon ? En revanche, je n'ai pas compris tout ce qu'il a écrit, pouvez-vous m'éclairer parce que lui trouve ça simple.

[SoS-Math(4)]

Bonjour Florian,

je précise que rac(1681)=41.

Donc résous le système obtenu.

sosmaths