Dérivée

[jeremy]

Bonjour,
Je dois faire un DM mais une question me bloque vraiment.
On a f définie sur [0,1] par f(x) = -expo(-x) * (1+x+(x²/2!)+...+(x^n/n!))
Je dois calculer f'(x), j'ai f'(x)= expo(-x) * (x^n/n!)
Je dois maintenant montrer que pour tout x E I on a 0<f'(x)<1
Je comptais calculer les limites mais je ne pense pas que ce soit comme ça qu'il faut procéder donc j'ai besoin d'aide (et si c'est comme ça je bloque a la limite en 1)
Aussi, à l'exercice 1 on avait une fonction f'(x)= 1/(2 *racine carrée x), j'ai utilisé les limites pour prouver que 0<f'(x)< 0.5 sur [1,+oo[ mais je ne pense pas que ce soit juste.

[sos-math(22)]

Bonsoir Jérémy,
Ton calcul de dérivée est juste, c'est bien. L'encadrement que tu dois démontrer n'a rien avoir avec les limites. Enfin, plus précisément, un calcul de limite pourrait éventuellement démontrer qu'un tel encadrement est faux ; mais pas qu'il est vrai.
Bref, pour démontrer cet encadrement, il te suffit de raisonner sur les inégalités de manière déductive sachant que \(0\leq x \leq 1\).
Remarque : relis ton sujet, normalement il faut monter que \(0\leq f^{,}(x) < 1\) et non pas \(0< f^{,}(x) < 1\).
Bonne continuation.

[jeremy]

J'avoue que là j'ai du mal a cause des n, comment faire ?
On part de 0<x<1
0<x^n<1... si c'est juste comment faire après ?
Et comment montrer que f'(x)= 1/(2*racine carrée x) est bornée ? Vu que c'est sur [1,+oo[

[sos-math(22)]

Tout d'abord, il faut justifier la première étape.

On part de \(0 \leq x \leq 1\), pourquoi obtient-on \(0 \leq x^n \leq 1\) ?

[jeremy]

Bonjour,
et bien car 1^n fera toujours 1, 1x1x1x1x1x...x1^n=1
De même pour 0^n
Après je pense qu'on peut dire expo(0)<expo(x)<expo(1) soit 0<expo(x)<e
Mais le n! me gène beaucoup.
Merci

[jeremy]

Enfin plutôt 1<expo(x)<e

[sos-math(22)]

Bonjour,

Ce n'est pas tout à fait ça, il faut dire :

Comme la fonction puissance \(f\) définie sur R par \(f(x)=x^n\) est croissante sur R, elle conserve l'ordre des éléments de R.

Ainsi, si on \(0 \leq x \leq 1\) alors \(0 \leq x^n \leq 1\).

Ensuite, comme \(1 \leq n!\) on a \(\frac{1}{n!}\)...

A toi de poursuivre...

[sos-math(22)]

Essaye de poursuivre, prends le temps de bien réfléchir, je t'aiderai ensuite. Bonne continuation.

[jeremy]

D'accord, j'ai fait la même chose avec toutes les autres fonctions :
La fonction f définie par f(x)=expo(x) est croissante donc l’ordre est conservé.
Ainsi expo(-1)<expo(-x)<expo(0) <=> e(-1)<e(-x)<1
On a 1<n!, la fonction f définie par f(x)=1/x est décroissante sur [1,+oo[, ordre non conservé
Ainsi 1/1 > 1/n! >0 <=> 0<1/n!<1
Maintenant j'imagine que je dois multiplier les inégalités, j'arrive à 0<f'(x)<1, c'est juste ? (je n'ai pas mis les supérieur ou égale mais ils y sont)

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Oui, tu dois multiplier entre elles les inégalités tout en sachant que tu as le droit de le faire car tous les nombres qui interviennent sont positifs

Ne t'amuse pas à faire des produits d'inégalités si tu n'es pas dans ce cas là.

sosmaths

[jeremy]

D'accord, et pour montrer que f'(x)=1/ (2*raciné caré de x) est bornée, comment procéder ?

[sos-math(22)]

Le domaine de déf. de f' est bien [1 ; +oo[ ?

Si oui, commencer ainsi :

On sait que \(x \geq 1\). Comme la fonction racine est... sur l'intervalle... on a ...

Bonne continuation.

[jeremy]

Oui,
donc comme x>1 et que la fonction racine carrée est croissante, l’ordre est conservé on a
racine carrée de x > 1
2Vx>2
1/2Vx < 1/2
Or comme x est positif on peut écrire aussi 0 < 1/2Vx < 1/2
C'est juste ?

[sos-math(22)]

C'est "presque juste", je recopie ton texte et ajoute des remarques :

comme x>1 x supérieur ou égal à 1 ; ou bien strictement supérieur à 1 ? et que la fonction racine carrée est croissante, l’ordre des éléments de [1;+oo[ est conservé on a
racine carrée de x > 1 même remarque (inégalités larges ou strictes)
2Vx>2
1/2Vx < 1/2 étape à justifier : comme la fct inverse est...
Or comme x est positif non : comme \(\sqrt(x)>0\) on peut écrire aussi 0 < 1/2Vx < 1/2

Bonne continuation.

[jeremy]

D'accord merci.
J'ai une dernière question.
On a f définie sur [0,1] par f(x) = -expo(-x) * (1+x+(x²/2!)+...+(x^n/n!))

Je dois calculer f'(x), j'ai f'(x)= expo(-x) * (x^n/n!)

Je dois montrer que pour tout x E I on a 0<f'(x)<1, c'est fait.

Je dois en déduire f(1)>f(0), c'est fait

Je dois montrer f(1) < f(0) +(1/n!) en utilisant les variations de g avec g(x)=f(x)-(x/n!), c'est fait.

En notant la suite v(n) = (1+x+(x²/2!)+...+(x^n/n!))

en déduire que e(1-(1/n!))<v(n)<e

Je ne vois pas comment procéder ici.
Merci