Etude de deux cas concernant les modulo

[Antoine]

Bonjour,
Voilà, je viens de nouveau faire appel à vous suite à un problème en spé maths...

Je vous donne l'énoncé de mon exercice
"Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n"

Partie A.
1. Dans cette question on pose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.
==> Je voulais savoir car la consigne ne me semble pas très clair...
Je teste avec x = 1, y = 3 et z =5 (ce qui marche) ou bien dans 3 cas je fais 1 1 1, 3 3 3 et 5 5 5 ?


2. Dans cette question on pose n = 3
a. Soit m un entier naturel. Reproduire le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m² par 8
r 0 1 2 3 4 5 6 7
R 0 1 4 9 16 25 36 49

On obtient m² congru à 0 mod 8
m² congru à 1 mod 8
m² congru à 4 mod 8
m² congru à 9 mod 8, soit congru à 1 mod 8
m² congru à 16 mod 8, soit congru à 0 mod 8
m² congru à 25 mod 8, soit congru à 1 mod 8
m² congru à 36 mod 8, soit congru à 4 mod 8
m² congru à 49 mod 8, soit congru à 1 mod 8


b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 7 mod 8 ?
==> J'ai mis qu'il faut que x² + y² + z² soit impair car x² + y² +z² -7 = 8k
x² + y² + z² = 8k +7
x² + y² + z² = 2(4k +3)+1

On sait que la somme de deux nombres pairs est paire (genre 2p + 2q = 2 (p +q))
On sait également que la somme d'un nombre impair et d'un nombre pair est impair (genre 2p + 2q+1 = 2(p+q) +1)
La somme de deux nombres impairs est aussi paire (genre 2p+1 + 2q +1 = 2 (p+q +1))

Donc la somme de trois entiers impairs sera impaire, ou alors la somme de 2 entiers pairs + un entier impair donnera un entier impair.
(Je sais pas si je devais partir des carrés pour justifier cela, genre le carré d'un entier impair est impair... etc)

On a donc 2 possibilités ; soit 3 nombres impairs, soit 1 nombre impair et deux nombres pairs
Donc on peut faire {0 ; 0 ; 1} ou {1 ; 1 ; 1} ou encore {0 ; 1 ; 4}

Si x = 1, y = 1 et z = 1
On a 3 est congru à 7 modulo 8 donc impossible

Si x = 0, y = 1 et z = 1
On a 2 est congru à 7 modulo 8 donc impossible

Si x = 0, y = 1 et z = 4
On a 17 est congru à 7 modulo 8 donc impossible

Il n'y a donc pas de possibilité pour que x² + y² + z² soit congru à 7 modulo 8.


Partie B.
On suppose qu'il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 2^n - 1 modulo 2^n

a. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs.
==> Je sais pas trop comment justifier mais 2^n -1 pour tout n est impair. Et 2^n est aussi pair.
Donc en faisant la congruence et tout x² + y² + z² doit être impair donc soit deux entiers sont pairs, soit les trois entiers sont impairs

b. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r et z = 2s +1 où q r et s sont des entiers naturels
Montrer que x² +y² +z² est congru à 1 modulo 4
==> (2q)² + (2r)² + (2s+1)²
= 4q² + 4r² + 4s² + 4s + 1
= 4 (q² + r² + s² + s) + 1

Donc x² + y² + z² = 4 (q² + r² + s² + s) + 1
Donc x² + y² + z² est congru à 1 modulo 4

En déduire une contradiction
==> Là je ne vois pas où est la contradiction...


c. On suppose que x, y et z sont impairs
Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k² + k est divisible par 2
Si k est impair genre k = 2p +1
k² + k = (2p+1)² + 2p +1
= 4p² + 4p + 1 + 2p + 1
= 2 (2p² + 2p + p + 1)

Si k est pair genre k = 2p
k² + k = (2p)² + 2p
= 4p² + 2p
= 2 (p² + p)

Donc dans tous les cas k² + k est pair, donc divisible par 2.


En déduire que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8
==> Je ne sais pas du tout comment faire si vous avez une idée :/

Conclure
==> Pareil.


Merci beaucoup pour votre aide !

Antoine

[sos-math(12)]

Bonjour :
Le travail de réflexion me semble tout à fait correct. Pour la question B.b :
Tu as obtenu que si x, y et z sont impairs alors x²+y²+z² est congru à 1 modulo 4.
Maintenant s'ils sont solutions de ton problème \(x^2+y^2+z^2+1=2^n(k+1)\). Quel est alors le reste de la division de \(x^2+y^2+z^2\) par 4 ? N'oublie pas que \(2 <= n\).

Bonne continuation.

[Antoine]

Bonjour,
J'ai cherché pendant la matinée mais je me retourne vers vous car je n'ai pas compris ce que vous avez dit...

En effet pour x² + y² + z² c'est congru à 1 modulo 4.
Ainsi le reste dans la division euclidienne de x² + y² + z² par 4 est 1.

Quand on repart de l'énoncé avec x² + y² + z² congru à 2^n -1 modulo 2^n.
Vous avez visiblement ajouter 1 de chaque côté

x² + y² + z² + 1 congru à 2^n modulo 2^n
Personnellement en voyant ça j'ai pensé que x² +y² + z² +1 est congru à 0 modulo 2^n
C'est-à-dire que 2^n divise x² + y² + z² + 1 avec un reste nul.

Je n'ai pas trop compris votre (k+1) :/
Je ne vois vraiment pas où est la contradiction désolé

[sos-math(12)]

Bonjour :

Dire que \(x^2+y^2+z^2\) est congru à \(2^n-1\) modulo \(2^n\) signifie que \(x^2+y^2+z^2-(2^n-1)\) est divisible par \(2^n\)
donc \(x^2+y^2+z^2-2^n+1=2^n \times k\) soit \(x^2+y^2+z^2+1=2^n \times k+2^n\) etc .....

Bonne continuation.

[Antoine]

Bonjour,
J'ai compris ce que vous avez fait mais une fois qu'on en arrive ici, quelle est la contradiction s'il vous plaît ?

[sos-math(12)]

Bonjour :

si tu as compris ce que j'ai fait tu as la réponse à la question : quel est le reste de la division de \(x^2+y^2+z^2\) par 4 et donc la contradiction demandée.

Prends le temps de la réflexion avant de poster un nouveau message.

Bonne continuation.

[Antoine]

Bonjour,
Et bien dans un cas le reste de la division euclidienne par 4 c'est 1

Mais dans ce cas-ci le reste c'est quoi ?
Désolé mais je cherche j'ai posé ces deux égalités sur un papier et je n'arrive toujours pas à déduire la contradiction...

[sos-math(12)]

Sachant que \(x^2+y^2+z^2+1=2^n\times(k+1)\) je doute que le reste soit 1. N'oublie pas que \(2<=n\).

Bonne continuation.

[Antoine]

Bonsoir,
Donc ici le reste de la division euclidienne de x² + y² + z² par 2^n c'est bien -1 ?

J'espère que c'est ça je suis reparti du tout début et j'ai vu que :

x² + y² + z² + 1 = 2^n (k + 1)
Soit x² + y² + z² = 2^n (k + 1) - 1

Ainsi 2^n divise x² + y² + z² mais c'est bizarre d'avoir un reste égal à -1 nan ?

Sachant que r devrait être compris entre 0 et 2^n ? (avec n supérieur ou égal à 2)

Sinon, comment démontrer s'il vous plaît que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8 ?
Dois-je repartir de la définition, c'est-à-dire de x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Ton reste ne peux être égal à -1, il est compris entre 0 et (2^n)-1

Donc il faut écrire x²+y²+z²=k.2^n+(2^n-1)

et le reste est 2^n-1

pour la suite , utilise ce que tu as trouvé en 2), concernant les reste de m² dans la division par 8.

sosmaths

[Antoine]

Bonjour,
Merci pour le coup de main !

Par contre je trouve bien le même reste mais compris entre 0 et 2^n et pas 2^n-1 comme vous avez écrit
(modulo c'est bien 2^n non ?)
Merci pour ceci mais je dois dire quoi dans la contradiction ?
Que le reste est different c'est tout ?

Pour la question d'après merci, en prenant trois fois 1 ça marche (vu qu'on suppose x y et z impairs y a que 1 1 1 qui marche)

Que dois-je conclure après aussi svp ?
Merci bien !

Antoine

[SoS-Math(4)]

quand on divise par 6 , par exemple, le reste est entre 0 et 5.
quand on divise par 2^n, le reste est entre 0 et (2^n)-1.

Pour la suite , quelle question es tu en train de chercher, je suis un peu noyé dans ton énoncé ?

sosmaths

[Antoine]

Bonjour,
Oui d'accord je viens de comprendre.

En fait quand on dit 0 < r < b (b étant un diviseur qui ici est 2^n)
On a donc r qui vaut 2^n - 1 (si j'ai bien compris)

En fait à la suite de l'énoncé il y a deux questions :

b. En déduire une contradiction
==> C'est cette question mais je dois dire quelle est la contradiction, c'est ce que je vous demande car je ne vois pas ce que je dois dire mis à part le reste qui n'est pas le même...
Dans un cas on a un reste qui vaut 1 mod 4 et dans un autre cas si n = 2 alors on peut dire que le reste c'est 3 mod 4 ?


Ensuite, une fois que j'ai démontré que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8
Vous avez dit que je dois me servir de m²
J'ai trouvé m² + m² + m² est congru à 3 mod 8
Ceci pour les valeurs de m qui sont {1 ; 1 ; 1} car on considère x y et z impairs.
En plus en vérifiant, 3 est bien congru à 3 modulo 8.

Ensuite, dès que j'ai démontré ceci, je dois "conclure"
J'aimerais bien savoir ce que je dois conclure en fait !

Je vous remets la partie dans l'ordre vous comprendrez mieux ainsi :

a. Démontrer que pour tout entier naturel k non nul, k² + k est divisible par 2
b. En déduire que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8
c. Conclure


En vous remerciant encore de votre aide,
Antoine.

[SoS-Math(4)]

Je voudrais avoir l'énoncé intégral sans commentaire au milieu.

Par conclure , il veulent que tu répondes à la question de départ, en faisant un bilan de ce qui a été établi.

"Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n"

sosmaths

[Antoine]

Je vous donne l'énoncé de mon exercice
"Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n"

Partie A.
1. Dans cette question on pose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.


2. Dans cette question on pose n = 3
a. Soit m un entier naturel. Reproduire le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m² par 8

b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 7 mod 8 ?



Partie B.
On suppose qu'il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 2^n - 1 modulo 2^n

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs.


a. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r et z = 2s +1 où q r et s sont des entiers naturels
Montrer que x² +y² +z² est congru à 1 modulo 4

b. En déduire une contradiction



3. On suppose que x, y et z sont impairs
a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k² + k est divisible par 2

b. En déduire que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8

c. Conclure


Voilà l'énoncé tel qu'il est.
Je ne comprends pas le 2b ainsi que le 3c.

J'ai réussi à trouver le corrigé de l'exercice sur internet pour m'aider mais je n'y comprends vraiment rien...