Divisibilité...

[John (Terminale S)]

Bonsoir !
J'ai un petit problème au niveau d'un exercice de divisibilité...

Je vous donne l'énoncé
"On veut déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation x² + 4y² = 8"

Je ne vois pas trop comment faire...
Je connais la méthode en fait mais je ne vois pas comment factoriser...

La seule chose que j'ai écrite est

x² + 4y² = 8
x² - (-4y²) = 8

Après j'essaye de faire a² - b² mais je n'y arrive pas...
Merci de votre aide :)

John

[SoS-Math(11)]

Bonsoir John,

Essaye de trouver x et y entiers relatifs tels que x² = 4(2-y²), cela devrait te permettre de conclure.

Bonne continuation

[John (Terminale S)]

Bonsoir,
Désolé mais même avec votre aide je ne sais pas comment faire...

De plus, dans la consigne, il y a d'écrit
"Démontrer que si (x ; y) est un couple d'entiers naturels solution, alors 0 <= x <= 2 et 0 <= y <= 1
Trouver alors les autres couples solutions"

Désolé mais là je vois pas absolument pas du tout :/

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Utilise a²-b²=..., pour factoriser le second membre, puis utilise le fait que x² est positif, cela te donne la condition sur l'encadrement de y. Ensuite pense que y est un entier cela te donne différentes valeurs, essaye chacune d'elles et conclus.

Bonne fin d'exercice

[John (Terminale S)]

Bonsoir,
Je suis toujours autant largué car je ne vois pas trop...

En fait on a x² + 4y² = 8
x² = 8 - 4y²
x² = 4 (2 - y²)

Donc jusque là je suis.
Ensuite apparemment il faut faire a² -b² (donc le seul endroit où je vois qu'on peut faire a² -b² c'est le (2 - y²)

Ou alors, je repars de x² = 8 -4y²
Et là je dis x² = ((Racine de 8) -2y) * ((Racine de 8) + 2y)

Ensuite je dois dire que x² > 0 pour tout entier relatif ?
Genre que racine de 8 - 2y > 0 et je fais pareil pour l'autre expression ?

Si tel est le cas je trouve y compris entre -racine de 2 et racine de 2
Or comme c'est des entiers naturels alors y est compris entre 0 et 1 ?

[SoS-Math(11)]

Il faut continuer à partir de 4(2 - y²).
Ce qui va fixer y pour avoir x² positif, y entier et le produit égal au carré d'un entier.

Bonne fin d'exercice

[John (Terminale S)]

Bonsoir,
Alors si j'ai bien compris on a :

x² = 8 - 4y²
x² = 4 (2 - y²)
x² = 4 ((Racine de 2) - y)((Racine de 2) + y)

x² est supérieur ou égal à 0
4 est supérieur à 0

Donc (Racine de 2) - y >= 0
Racine de 2 >= y

Aussi (Racine de 2) + y >= 0
Racine de 2 >= -y
Racine de 2 <= y

Ainsi on encadre y
-Rac de 2 <= y <= Rac de 2

Comme y est un entier naturel, on ne peut trouver que 1.


Bon par contre je bloque pour x je vous montre ce que j'ai fait...

-Rac de 2 <= y <= Rac de 2
2 <= y² <= 2
-8 >= -4y² >= -8
0 >= 8 -4y² >= 0
0 <= x² <= 0
0 <= x <= 0

Or je ne pense pas que x est égal à 0 mais plutôt 1...
Merci pour votre aide :)

[SoS-Math(11)]

Il y a bien y = 1, mais on est dans les relatifs donc il y a une autre valeur pour y.

Utilise alors x²=8-4y² pour trouver x pour les valeurs de y qui conviennent.

En effet y = 0 donne x² = 8 et dans ce cas x n'est pas entier.

Bonne continuation

[John (Terminale S)]

Bonsoir,
Merci pour votre aide mais en fait c'est surtout à la question que je souhaite répondre ^^'

C'est-à-dire démontrer ceci
"Démontrer que si (x ; y) est un couple d'entiers naturels solution, alors 0 <= x <= 2 et 0 <= y <= 1
Trouver alors les autres couples solutions"

Car avec votre technique je trouve x = 2 ou x = -2
C'est bien parce qu'on trouve toutes les solutions (2 ; 1) (-2 ; 1) ...


Mais je n'ai pas vraiment démontré que x est entre 0 et 2... pour les entiers naturels

Ou alors je pars de x² + 4y² = 8
x² = 8-4y²

Et je remplace y pas sa valeur qui est 1 ?

x² = 4
x = 2 ou -2 mais on ne cherche qu'un entier naturel soit 2.

Je trouve en fait le 2, mais je n'arrive pas à savoir comment on fait pour avoir 0 <= x <= 2...

Je vous remercie déjà pour votre aide

[SoS-Math(11)]

Bonjour John,

Pense que x²=8-4y², et que si y est compris entre -1 et 1 alors x² est compris entre ......... donc x est compris entre ......
Complète et conclus

Bonne fin d'exercice

[John (Terminale S)]

Bonjour,
En fait dans mon exercice on considère des couples d'entiers naturels (pour la question que je vous ait soumise)

J'ai fait la chose suivante :
* Une fois que j'avais trouvé y compris entre -Racine de 2 et racine de 2, il y avait deux valeurs possibles pour y

y = 0 ou y = 1
J'ai donc remplacé y par 0 dans l'équation de départ, et on arrive à x = racine de 8...
Ce qui n'est pas possible donc y = 1. Par conséquent 0 < y < 1

En remplaçant y par 1, je trouve x² = 4
Donc x = -2 ou 2, sauf que l'on souhaite des entiers naturels.
Donc x = 2 avec 0 < x < 2.

Ainsi, le couple (x ; y) est solution ; donc le couple (2 ; 1)
Mais les couples (x ; -y) (-x ; y) et (-x ; -y) sont aussi solutions (ici c'est pour les entiers naturels et relatifs)

Donc les couples solutions de cette équation sont :
(2 ; 1) (2 ; -1) (-2 ; -1) et (-2 ; 1).


Par contre j'ai beau essayé avec votre phrase...
Je pars de y compris entre -1 et 1
Après j'avais mis y au carré, j'ai multiplié par -4 et j'ai ajouté 8...
Je trouve toujours x compris entre 0 et 0...

[John (Terminale S)]

Bonjour,
Désolé pour le deuxième post mais je pense avoir compris.

Si je repars de 0 < y < 1 et non pas de -1 < y < 1 comme vous le suggériez (car on souhaite des naturels)
Alors 0 < y² < 1
Alors 0 > -4y² > -4
Alors 8 > 8 -4y² > 4

Donc 4 < x² < 8
Donc 2 < x < Racine de 8

Je ne prends pas des racines genre -Racine de 8 car je souhaite des naturels
Ainsi ici le seul entier naturel compris entre 2 et Racine de 8 c'est 2.

Je ne sais pas trop si je peux faire comme ça,
Mais en tout cas je partirais en trouvant y compris entre 0 et 1, et ensuite j'en déduirais x et je trouverais les couples solutions.

[SoS-Math(11)]

Ok c'est correct, pour prendre 1 pour y et 2 pour x, il faut écrire \(\leq\) à la place de \(<\) et \(\geq\) à la place de \(>\), je pense que c'est ce que tu as fait mais que tu n'as pas pu le taper (sans utiliser TeX).

A bientôt sur le forum

[John (Terminale S)]

Bonjour,
Oui désolé je n'ai pas réussi à le taper alors j'y ai mis sous cette forme pour que ce soit plus clair.

Merci beaucoup de votre aide :)
PS: Puis-je recrée un autre topic pour un autre souci ?

[SoS-Math(4)]

oui, bien sur, mais cherche d'abord.

sosmaths