Complexe

[Maxime]

Bonjour à tous,
j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre : {V=> Racine carrée}
On me donne comme information que le complexe i a un module de 1 et argument π/2. On a les complexes Z= 1/2(-1+iV3) et Z'=1-i. On défini le complexe Z''= Z² / Z'.
Et on me demande de déterminer les formes trigonométriques et algébriques de Z'' puis d'en déduire les valeurs exactes de cos(5π/12), sin(5π/12) et cos(7π/12) et sin(7π/12).
Je n'ai que calculé la carré de Z mais je ne suis pas sur de ma réponse : Z²=[1/2(-1+iV3)]²= 1-iV3
Et à partir de là, je bloque...
Merci d'avance à ceux qui se pencheront sur mon problème

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Maxime,

Je pense qu'il y a déjà une erreur dans le calcul de Z². A revoir.

Ensuite il faut utiliser les propriétés de la multiplication et de la division des complexes et les relations de ces opérations avec les modules et les arguments pour trouver les cosinus et sinue demandés. Ce sont les parties réelles et imaginaires.

Bon courage

[Maxime]

Bonjour,
J'ai du mal, enfin je n'arrive même pas du tout à calculer Z², j'obtiens quelque chose d'assez étrange :
Z²=[1/2(-1+ iV3/2)]²
=[-1/2 + iV3/2]²
=1/4+2(-1/2)(iV3/2)+(iV3/2)²
=1/4-(iV3/2)-V3/4
=(1-V3)/4 - iV3/2

Merci de votre aide

[sos-math(20)]

Bonsoir Maxime,

Tu as oublié d'élever \(\sqrt3\) au carré dans ton développement : ton résultat est donc incorrect.

Bon courage pour la reprise de ce calcul.

SOS-math

[Maxime]

Bonsoir,
J'obtiens alors Z²= 1/4 -(iV3)/2 -1/4 = (-iV3)/2
J'ai donc Z² et Z'=1-i donc Z"= (-iV3)/2 * 1/(1-i) = (-iV3)/2-2i
Mais ce qui m'embête c'est que ce n'est pas vraiment sous forme algébrique
J'ai beaucoup de mal avec ce chapitre....

[sos-math(20)]

Maxime,

Il y a encore une erreur.

Que trouvez-vous lorsque vous développez \((\frac{i\sqrt3}{2})^2\) ?

SOS-math

[Maxime]

Effectivement, je suis peut-être allé un peu trop vite :
[(iV3)/2]² = -3/4 ? J'ai donc Z²= -1/2 - (iV3)/2 j'ai donc ma partie réelle (-1/2) et ma partie imaginaire -V3/2

[sos-math(20)]

Maxime,

Votre expression de \(z^2\) est maintenant correcte, mais n'allez pas trop vite.
Il vous faut diviser par 1-i afin d'obtenir z".

Bon courage.

SOS-math

[Maxime]

Ah oui, c'est vrai
j'obtiens donc : Z"=[(-iV3/2)-1/2]*1/(1-i)= [(-1-iV3)/2]*1/(1-i)= (-1-iV3)/(2-2i) C'est donc sa forme algébrique mais il faudrait que je la mette sous forme z= x+yi , non ?

Merci de votre aide, et de votre patience

[sos-math(20)]

Bonjour Maxime,

Il faut en effet avoir z" sous forme algébrique : pour cela il vous faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de 2-2i, à savoir 2+2i. C'est une technique classique que vous avez sûrement vue en cours et il vous faudra l'apprendre.

Bon courage.

SOS-math

[Maxime]

Bonjour,
J'ai donc multiplié le dénominateur et le numérateur par le conjugué et j'ai donc : Z"= (-2-2i-2iV3-2i²V3) / (2²-(2i)²) = (-2-2i)/8 = (-1-i)/4
Donc la forme algébrique de ce complexe est Z"= (-1/4) - (i/4)
Pour la forme trigonométrique : on m'a indiqué précédemment que i avait un module r=1 et un argument θ= π/2 et d'après la formule du cours j'ai Z"= r(cosθ+i sinθ)
=> dois-je seulement remplacer les valeurs de r et θ du module i ?
Merci

[sos-math(20)]

Bonsoir Maxime,

Commencez par reprendre votre calcul car la forme algébrique que vous proposez pour z" est incorrecte.

Bon courage

SOS-math

[Maxime]

Bonsoir,
Je me suis rendu compte de mon erreur et dorénavant je trouve Z"= (V3-1)/4 - (i-iV3)/4 j'ai revérifié à plusieurs reprises et si cette fois c'est faux c'est que je n'ai pas du comprendre une étape...
Merci de votre aide

[sos-math(20)]

Bonjour Maxime,

C'est presque bon, car vous avez mis des parenthèses qui ne conviennent pas pour la partie imaginaire; à ces parenthèses près, vous voilà en possession de la forme algébrique de z".

Maintenant vous devez vous atteler à déterminer sa forme trigonométrique : vous allez donc avoir besoin du module et d'un argument de z". Il vous faut revenir à la définition de z", \(z\prime\prime=\frac{z^2}{z\prime}\), puis utiliser les propriétés sur les modules et les arguments (le module d'un produit est égal au produit des modules, l'argument d'un produit est égal à la somme des arguments, etc ...)

Bon courage.

SOS-math

[Maxime]

Bonjour,
Ah oui d'accord, j'ai compris, j'ai donc Z"= (V3-1)/4 -i(V3+1)/4 et comme cela j'ai bien distingué ma partie réelle et ma partie imaginaire sous la forme z=x+iy
Pour le forme trigonométrique, j'ai calculé le module et l'argument de Z => r=1 et θ=2π/3 Z' => r'= V2 et θ'= π/4
Donc |Z"|=|Z|² / |Z'| => Z"= 1/V2 = V2/2
Après dois-je utiliser la formule du cours Z" = [r(cos(θ-θ')+isin(θ-θ'))] /r' pour obtenir sous la forme trigonométrique pour Z" ?
Merci pour votre aide