dichotomie

[Cédric]

Bonjour,
soit g(x) = x + cox(x) = 2 et f(x) = x + cos(x) - 2
d'après le théorème des valeurs intermédiaires je prouve qu'il existe une unique valeur de x0 telle que x + cos(x) = 2.
On me demande de donner un encadrement d'amplitude 1O^(-2) près de la solution de g(x) = 2.
J'ai écrit écrit un algorithme de dichotomie qui nous indique que pour b-a < 0,01 on a : a < x0 < b où a=2,9863281... et b=2,9951171... mais le problème est que nous ne pouvons pas écrire 2,98 < x0 < 2,99 car on est sûr que f(2,98) <0 car f est strictement croissante et que f(2,9863281) <0 mais on ne sait rien sur f(2,99) si l'on sait seulemement que f(2,9951171)>0.
Donc si j'ai bien compris pour avoir un intervalle de x0 à 0,01 près, il faut trouver a et b tels que b-a < 0,001 et l'algorithme me donne alors a = 2,9879761... et b = 2,9885524... donc je peux dire que 2,98 < x0 < 2,99 dans ce cas.
merci beaucoup,
Cédric

[SoS-Math(4)]

Bonjour Cédric,

Oui ce que tu as fait est bien.
Comment se débouiller autrement ? Tu pourrais en plus de la condition b-a<0,01 tu pourrais rajouter la condition: partie entière(100b) -partie entière(100a)=0.

Ca t'assurerait d'obtenir deux nombres a et b , avec le même chiffre des unités, le même chiffre des dixième, le même chiffre des centièmes. Ce qui te permettrait de conclure.

sosmaths

[Cédric]

Bonsoir,
il y a encore quelque chose qui me chagrine : quand ils demandent un encadrement d'amplitude 10^(-2) de la solution x0, on peut très bien donner 2,986 < x0 < 2,996 , n'est-ce pas ? un intervalle d'amplitude 10^(-2) ne signifie pas forcément par 2 nombres avec 2 chiffres après la virgule ... ? poutant dans les corrigés d'exercices de bac, ils sous-entendent cela ...
Je ne comprends plus très bien . Pourriez-vous m'aider à faire le point sur les différentes formulations au bac ?
MERCI BEAUCOUP,
Cédric

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Ce que tu dis est correct, l'amplitude d'un encadrement étant l'écart entre les deux valeurs encadrantes.
Il est vrai qu'on préfère des valeurs à deux chiffres après la virgule : c'est plus "propre" et plus logique par rapport à l'utilisation dans un problème de bac.