Bonjour,
Soit ABCD un quadrilatère et t un réel vérifiant 0<t<1
On définit les quatre points A'B'C'D' par :
Vec(AA') = t * Vec(AB)
Vec(BB') = t * Vec(BC)
Vec(CC') = t * Vec(CD)
Vec(DD') = t * Vec(DA)
On suppose que A'B'C'D' est un parallèlogramme.
Montrer que ABCD est un parallèlogramme ou que ABCD n'est pas un parallèlogramme et t = 1/2
je sollicite votre aide , car toutes les configurations géométriques sont envisageable. J'ai déjà essayé de mettre ABCD dans un repère . Merci d'avance car j'avance pas
DM vecteurs dfi
-
Jo21
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: DM vecteurs dfi
Bonsoir
On va utiliser Chasles :
\(\vec{AB}=\vec{AA^{\prime}}+\vec{A^{\prime} D}+\vec{D^{\prime} D}+\vec{DB}\) soit en remplaçant par ce qu'on sait :
\(\vec{AB}=t\vec{AB}+\vec{A^{\prime} D^{\prime}}-t\vec{DA}+\vec{DB}\)
soit en refaisant un chasles dans \(\vec{DA}\), on a
\(\vec{AB}=t\vec{AB}+\vec{A^{\prime} D^{\prime}}-t\vec{DB}-t\vec{BA}+\vec{DB}\) soit en passant de l'autre côté et en regroupant :
\((1-2t)\vec{AB}=\vec{A^{\prime} D^{\prime}}+(1-t)\vec{DB}\)
On peut refaire pareil pour \(\vec{DC}\) et on aura :
\((1-2t)\vec{DC}=\vec{B^{\prime} C^{\prime}}+(1-t)\vec{DB}\)
Comme les vecteurs \(\vec{A^{\prime} D^{\prime}}\) et \(\vec{B^{\prime} C^{\prime}}\) sont égaux (parallélogramme)
- soit t est différent de 1/2 et 1-2t est différent de 0 et on a égalité entre les deux vecteurs ce qui mène au parallélogramme ;
soit t=1/2 et on ne peut rien dire sur ABCD.
On va utiliser Chasles :
\(\vec{AB}=\vec{AA^{\prime}}+\vec{A^{\prime} D}+\vec{D^{\prime} D}+\vec{DB}\) soit en remplaçant par ce qu'on sait :
\(\vec{AB}=t\vec{AB}+\vec{A^{\prime} D^{\prime}}-t\vec{DA}+\vec{DB}\)
soit en refaisant un chasles dans \(\vec{DA}\), on a
\(\vec{AB}=t\vec{AB}+\vec{A^{\prime} D^{\prime}}-t\vec{DB}-t\vec{BA}+\vec{DB}\) soit en passant de l'autre côté et en regroupant :
\((1-2t)\vec{AB}=\vec{A^{\prime} D^{\prime}}+(1-t)\vec{DB}\)
On peut refaire pareil pour \(\vec{DC}\) et on aura :
\((1-2t)\vec{DC}=\vec{B^{\prime} C^{\prime}}+(1-t)\vec{DB}\)
Comme les vecteurs \(\vec{A^{\prime} D^{\prime}}\) et \(\vec{B^{\prime} C^{\prime}}\) sont égaux (parallélogramme)
- soit t est différent de 1/2 et 1-2t est différent de 0 et on a égalité entre les deux vecteurs ce qui mène au parallélogramme ;
soit t=1/2 et on ne peut rien dire sur ABCD.