Nombre complexe

[SoS-Math(4)]

je vois qu'effectivement tu as des difficultés, mais en travaillant elles diminueront.

Si z=a+ib alors le module de z est \(sqrt{a^2+b^2^}\)

Le module de Z1 est donc \(sqrt{(1+2cosa)^2+(-2sina)^2\)

Continue le calcul, en développant dans la racine carrée, sans oublier le double produit.

sosmaths

[Alexandra]

|Z1| = \(\sqrt{(1+2cosa)^{2}+(-2sina)^{2}}\)
= \(\sqrt{(1^{2}+2*1*2cosa+2cosa^{2})+(-2sina)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+2*2cosa+2cosa^{2}-2sina^{2}}\)
= \(\sqrt{3*2cosa+2cos^{2}-2sina^{2}}\)

Il y a une erreur je crois

[SoS-Math(4)]

oui, (-2sina)²=4 sin²a

(2cosa)²=4cos²a

sosmaths

[Alexandra]

Donc |Z1| = \(\sqrt{(1+2cosa)^{2}+(-2sina)^{2}}\)

= \(\sqrt{(1^{2}+2*1*2cosa+2cosa^{2})+(-2sina)^{2}}\)

= \(\sqrt{1+2*2cosa+4cos^{2}a+4sin^{2}a}\)

= \(\sqrt{3*2cosa+4cos^{2}a+4sin^{2}a}\)

En fait le problème c'est que je ne vois pas comment il faut faire pour développer tout sa (sina et cosa me posent problème) pour trouver le résultat final.

[SoS-Math(4)]

Je ne crois pas qu'il y ait seulement la trigo qui te pose problème. Un conseil : il faut écrire au brouillon avant d'écrire au clavier .

1+2*2cosa n'est pas égal à 3*2cosa

d'autre part 4 cos²a+4sin²a=4(cos²a+sin²a)=4*1=4

sosmaths

[Alexandra]

Comment vous faites pour trouver cos²a+sin²a = 1 ?
Car j'ai compris que vous avez factoriser pour obtenir 4 cos²a+4sin²a=4(cos²a+sin²a) mais après je bloque.

[SoS-Math(4)]

c'est la première formule de trigo à connaitre.
sosmaths

[Alexandra]

C'est bon, je n'ai pas bien vu, je me souviens de la formule.

Je trouve : |Z1| = \(\sqrt{(1+2cosa)^{2}+(-2sina)^{2}}\)

= \(\sqrt{(1^{2}+2*1*2cosa+2cosa^{2})+-2sina)^{2}}\)

= \(\sqrt{1+2*2cosa+4cos^{2}a+4sin^{2}a}\)

= \(\sqrt{1+2*2cosa+4(cos^{2}a+sin^{2}a}\)

= \(\sqrt{1+2*(\frac{1}{2}+\frac{(cos(2a))}{2})+4}\)

= \(\sqrt{6.9}\)

= 2.6

[Alexandra]

Je me suis trompé, j'ai utilisé la formule du \(cos^{2}\)\(({x})\)

[SoS-Math(4)]

Je ne comprends pas ton dernier message, il n'y pas de formule puisqu'il n'y à pas de signe "=".

Quand à l'autre message, je me demande comment tu trouves 2,6 puisque a=têta n'est pas connu, ni fixé.

sosmaths

[Alexandra]

Je voulais dire que j'ai utilisé : \(cos^{2}({x})\)=\(\frac{1}{2}+\frac{(cos({x}))}{2}\) alors qu'ici on a cos\(({x})\)
De toute façons je crois que je vais laisser tomber cet exercice. Je n'y arrive pas.
Merci quand même à vous.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
De toute façon, cette formule est fausse, il manque un 2x quelque part : \(\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\).
Reprends tes calculs avec cela.

[Alexandra]

Oui désolé, j'ai fait une erreur de frappe.
|Z1| = |1+2cosa-2isina|

= \(\sqrt{(1+2cosa)^{2}+(-2sina)^{2}}\)

= \(\sqrt{1^{2}+2*1*2cosa+2cosa^{2}+(-2sina)^{2}}\)

= \(\sqrt{1+2*2cosa+4cos^{2}a+4sin^{2}a}\)

= \(\sqrt{1+2*2cosa+4(\frac{1}{2}+\frac{(cos(2{x}))}{2}+\frac{1}{2}-\frac{(cos(2{x}))}{2}}\)

= \(\sqrt{1+2*2cosa+4}\)

Et c'est la que je bloque.

[sos-math(21)]

Que dois-tu en faire ?
A priori, c'est un module qui dépend de \(\theta\) et qu'on ne peut plus arranger....\(|Z_1|=\sqrt{5+4\cos\theta}\)

[Alexandra]

Alors le calcul de |Z1| est pour la question 2) mais je mets tout l'exercice car le 2) dépend de la question précédente

On considère l'équation z²-2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0 où θ est un réel quelconque.
1) Résoudre cette équation dans C
2) Montrer que les images des solutions appartiennent à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

J'ai donc calculé |Z1| il faut que je fasse de même avec |Z2| mais après je ne vois pas comment faire pour trouver le centre et le rayon du cercle.