Suites, intérêts composés

[Nathan]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice:
Un particulier contracte un prêt de \(d_{0}\)= 200 000 € dans un cadre d'une opération immobilière. Les modalités de remboursement sont les suivantes:
*intérêts: à la fin de chaque année, la somme due au début de l'année augmente de 5%
*remboursement: à la fin de chaque année, le particulier rembourse une somme de R€.
On note dn la somme due (en euros) au bout de n années.
1)Montrer que \(d_{n+1}\) =1,05 \(d_{n}\)– R pour tout n \(\in\) IN (du moins tant qu'il reste quelque chose à rembourser).
2)Montrer que la suite (\(u_{n}\)) définie par\(u_{n}\)=\(d_{n}\)-20R est une suite géométrique dont on déterminera la raison. En déduire que \(d_{n}\)=\(1,05^{n}\)\(d_{0}\) -\(1,05^{n}\)x 20R+20R
3)Quel doit être le montant des annuités (remboursements annuels, à \(10^{-2}\) près) pour que le prêt soit remboursé au bout de 15 ans? Combien cela représente-t-il par mois? A combien se monteront les intérêts, au final?
Merci d'avance!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Nathan,

Dis-moi ce que tu as déjà fait et ce qui te pose problème pour que je puisse t'aider, je ne suis pas là pour te faire ton exercice.

A bientôt sur le forum

[Nathan]

Bonjour,
Je n'arrive pas à commencer l'exercice! Je bloque dès la première question!
Pour la question 2, \(u_{n+1}=d_{n+1}-20R\) =>\(u_{n+1}=1,05 d_{n}\)– R-20R=>\(u_{n+1}=1,05( u_{n}-20R)\)– R-20R après je ne sais pas comment simplifier!
Pour la question 3, je bloque!
S'il vous plait aidez-moi à faire cet exercice!

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

1°) Soit dn la somme encore à rembourser après n années.
1 an plus tard cette somme à rembourser s'est enrichie de 5% d'intérêt , elle est donc devenue 1,05 dn.
Mais comme la somme R est remboursée, il restera donc 1,05dn-R à rembourser.
Donc d(n+1)= 1,05dn-R

2°)u(n+1)=d(n+1)-20R=1,05dn-R-20R=1,05dn-21R=1,05(dn-21R/1,05)=1,05(dn-20R)=1,05un

sosmaths

[Nathan]

2°)u(n+1)=d(n+1)-20R=1,05dn-R-20R=1,05dn-21R=1,05(dn-21R/1,05)=1,05(dn-20R)=1,05un
Mais comment passe-t-on de 1,05(dn-21R/1,05) à 1,05(dn-20R)=1,05un?

[SoS-Math(4)]

tu calcules 21/1,05

sosmaths

[Nathan]

Bonjour,
Vous avez raison, je me suis trompé!
Mais pour la suite, je bloque!

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

U est donc une suite géométrique de raison 1,05.


Exprime alors Un en fonction de Uo et q=1,05.

sosmaths

[Nathan]

Bonjour,

U est donc une suite géométrique de raison 1,05.
Un = Uo*\(1,05^{n}\).
Uo = Do-20R=>Un=(Do-20R) \(\times\) \(1,05^{n}\)=>Dn=(Do-20R) \(\times\) \(1,05^{n}\)+20R=\(1,05^{n}\)Do-20R \(\times\) \(1,05^{n}\)+20R
Est-ce bon?

[SoS-Math(4)]

oui, c'est ça.

sosmaths