Dm: repères, fonctions

[Louise]

Bonjour,
Me voici bloquée à mon devoir maison que je dois rendre bientôt. L'exercice est le suivant :


On munit le plan d'un repère orthonormé (O,I,J)
On note D la droite d'équation cartésienne y=x
PARTIE A :
Soient a et b deux nombres réels.
On note M le point du plan de coordonnée (a,b) et N le point du plan de coordonnées (b,a)
1) Montrer que OM=ON
2) Montrer que le milieu du segment [MN] appartient à D.
3) En déduire que les points M et N sont symétriques par rapport à la droite D

PARTIE B :
On considère les fonctions f et g définies sur [0,+infini[ par f(x)=racine de x et g(x)=x²
Soient C la courbe représentative de la fonction f et C' la courbe représentative de la fonction g. On se donne également un nombre réal a positif ou nul.
1) Tracer dans le repère (O,I,J) les courbes C,C' et D.
2) On note M le point d'absisse a de la courbe C et M' son symétrique par rapport à D. Montrer que le point M' appartient à la courbe C'.
3) Montrer que la symétrique du point N d'absisse a de la courbe C' par rapport à la droite D appartient à la courbe C.
4) Quelle conclusion peut-on tirer des deux questions précédentes ?

Voilà, il est un peu long, désolé, et je le trouve difficile !
J'ai commencée par tracer mon repère, j'ai placé ma droite, ainsi que les points M et N , mais je sais pas comment prouver tous ça..

J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance !

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Le but de ce forum est de vous aider à trouver la solution, mais pas de faire le travail à votre place. Veuillez indiquer ce que vous avez déjà fait et poser une question précise. SoS-Math.

[Louise]

Bonsoir,
Oui pardon !
Alors j'ai fais la première question déjà, si c'est juste :
Si M(a,b) alors OM=racine a²+b² et pour N(b,a) j'ai calculée et je trouve aussi ON= racine a²+b²
mais je sais pas si ça suffit pour le démontrer...

Ensuite pour le deuxième question je bloques
J'ai essayé de calculer les coordonnées du milieu du segment MN mais j'ai pas réussit , j'ai fait :
x = b+a/2 et y = a+b/2 et je sais pas ensuite....

Merci d'avance.
Louise

[sos-math(22)]

Bonsoir Louise,
Oui, c'est bien, pour le 1), votre démonstration convient. Pour le 2), vous y êtes presque, puisque x=(a+b)/2 et y=(a+b)/2 (attention à ne pas oublier les parenthèses), on a x=y, donc le milieu de [MN] appartient à D.
Pour la question 3), pensez que le triangle OMN, isocèle en O, admet comme axe de symétrie la droite passant par O et milieu de [MN].
Ensuite, c'est à vous de commencer à réfléchir à la partie B.
Bonne continuation.

[Louise]

Bonsoir,

Ah oui ! Merci beaucoup, j'ai compris.

Pour la question 3 , je n'arrive pas à expliquer que les points M et N sont symétriques par rapport à la droite D.
Il faut juste que j'explique que, comme D est l'axe de symétrie qui passe par le milieu de MN, alors les points seront symétrique ? je vois pas comment le prouver...
Je vais essayée de comprendre la partie B oui..
Merci.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Louise,

Tu as démontrer que OM=ON donc OMN est isocèle en O. Ce triangle admet donc un axe de symétrie qui est la médiane issue du sommet principal. Comme le milieu de [MN] est un point de (D) et que (D) passe par O, tu viens de démontrer que l'axe de symétrie du triangle est (D) soit encore que ...

Je te laisse finir et réfléchir à la partie B.

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour !
Donc les points M et N sont symétrique par rapport à D !
Merci beaucoup.

Pour la partie B je cherche depuis ce matin,
Et pour tracer les coubres C et C' je les traces "à peu prés" , en m'aidant du graphique qu'à afficher ma calculatrice pour x² et racine de x ?

[sos-math(22)]

Bonjour,
Oui, tu peux les tracer avec l'aide de ta calculatrice. Auquel cas, tu peux utiliser également le tableur (fonction TABLE) de la calculatrice pour t'aider à réaliser le graphique avec précision.
Tu peux également utiliser un logiciel en installant par exemple sinequanon.
Bonne continuation.

[Louise]

D'accord merci j'y avais pas penser.
ça ressemble à ça pour l'instant, c'est bon ?

Mais pour la question 2 de la partie B je ne comprends pas trop... Mon point M est déjà sur la courbe C et son symétrique par rapport à D est bien N comme on l'a montrer dans la partie A, et est sur C' ...
Merci.

[sos-math(22)]

Oui, c'est bien mais il faut faire la figure dans un repère orthonormé.
Change les unités sur les axes pour quelles soient exactes et la droite (MN) va devenir perpendiculaire à D.
Bonne continuation.

[Louise]

Ah oui merci, je me suis trompée.
La droite (MN) est bien perpendiculaire à D.

Pouvez vous m'expliquer la question 2 s'il vous plait, je comprends pas ?
merci

[sos-math(22)]

Peux-tu me montrer tout d'abord la courbe modifiée ? Merci.

[Louise]

Voilà, c'est juste cette fois ?

[sos-math(22)]

Oui, c'est très bien.
As-tu une autre question précise concernant la suite ?

[Louise]

Ah merci !
Oui, je comprends pas du tous les questions 2 et 3.
Parceque ils disent que c'est M' le symétrique de M par rapport à D mais sur mon graphique c'est N qui est symétrique à M! Donc je comprend pas vraiment... ?
Et pour la 3) j'ai compris, je crois, mais je sais pas comment le prouver...