Nombres complexe vecteurs

[Chloé]

Bonjour à tous,

j'ai un exercice sur les vecteurs avec les nombres complexes, mais je bloque totalement au milieu de mon calcul.

Voici le sujet :
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, on donne les points M, N et P d’affixes respectives z ; z2 −1 et 1/(z² -1)

1. démontrer que les vecteurs OM et ON soient orthogonaux.
2. démonter que les points O, N et P soient alignés


Ce que j'ai fais :

1) le point M à pour affixe : z = x+iy il a donc pour coordonnée (x;y)
le point N à pour affixes z² = x² +2xiy - y² -1 il a donc pour coordonnée (x² - y²-1 ; 2xy)

OM = (x;y)
ON = (x-y²-1 ; 2xy)


OM.ON = x(x²-y²-1) + y*2yx = 0
= x^3- xy² -x + 2y²x = x^3 + xy² -x = x(x²+y²-1) = 0

et à partir de la je coince totalement, je vois pas du tout ce que je peux faire.

2 ) O, N et P sont aligné, donc vecteur ON = k OP , je fais avec les affixes

zON = k zOP

zON / zOP = k réel donc O, N et P sont alignés.

je suis juste bloquer pour la première question si, quelqu'un peu m'éclairer svp .

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Chloé,

Rappel : le produit scalaire de \(\vec{u}\) et de \(\vec{v}\) est nul si et seulement si les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.
Or tu as bien trouvé 0, il me semble que tu n'as plus qu'a conclure.

Ok pour ta méthode de la seconde question.

Bonne continuation

[Chloé]

le problème c'est que je n'est pas trouver 0 , je sais juste que je dois trouver 0 pour qu'il soit orthogonaux, mais je trouve pas 0 puisque je suis bloquer ici :

OM.ON = x(x²-y²-1) + y*2yx
= x^3- xy² -x + 2y²x = x^3 + xy² -x = x(x²+y²-1)

[SoS-Math(11)]

Bonjour Chloé,

Je me suis laissé abusé par ton égalité qui se terminait par = 0, et aussi par le début de tes calculs qui sont justes.

J'ai refait tous les calculs, tu n'as pas fais d'erreur de plus avec un logiciel de géométrie j'ai étudié le dessin et les vecteurs ne sont pas orthogonaux, il doit y avoir une erreur dans l'énoncé.
Pour la question 2 pas de problème il y a bien colinéarité et tu multiplies par le même coefficient.

Bonne continuation.

[Chloé]

Bonjour sosmaths (11)

Effectivement en recopiant l'énoncé, l'affixe du point P n'est pas 1/(z² -1) mais (1/z²)-1.
Mais pour la question 1 on n'en a pas besoin.

J'ai déjà répondu à la question grâce au logiciel Geogebra, mais je n'ai pas trouver toute les solutions, donc maintenant je dois le prouver par le calcul, et c'est là que je bloque. Je sais que mon équation va être celle d'un cercle, mais je vois comment je peux y arriver.

Chloé.

[SoS-Math(11)]

Re bonjour,

Pour que les vecteurs soient orthogonaux, tu dois avoir le produit x(x²+y²-1) qui doit être nul, tu as deux cas
x=0 ce qui te donne la place de M sur une droite.
x²+y²-1 = 0 ce qui te donne l'équation d'un cercle détermine son centre et son rayon.
Tu peux alors conclure que les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si M est sur la droite ... ou sur le cercle ...

Ailleurs les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Bonne continuation

[Chloé]

ah d'accord, je vous remercie énormément.
Chloé.