Triangle isocèle dans un cercle

[Maria]

Bonjour, j'ai un petit exercice à faire et j'aimerai qu'on m'explique mes erreurs!
Dans le plan, on considère un cercle C de centre O. On considère également ABC un triangle direct isocèle en A, et inscrit dans le cercle C. On note H le pied de la hauteur issue de A. On munit le plan d'un repère orthonormé direct (O,i,j), tel que i=OA.
On note [r,α] les coordonnées polaires de B, ou la mesure α est exprimée en radians, dans l'intervalle [0;2\(\pi\)[. Enfin, A(α) désigne l'aire de ABC en fonction de α.
1)Que vaut r? Expliquer pourquoi α \(\in\) [0;\(\pi\)]
2)Déterminer les coordonnées cartésiennes de B, C et H en fonction de α.
3) Montrer que pour α\(\in\) [0;\(\pi\)], A(α)= sin(α)(1-cos(α))
4)Montrer que f est dérivable sur [0; \(\pi\)], pour tout α\(\in\) [0;\(\pi\)],
f' (x)=-2cos²(α)+cos(α)+1
5)Factoriser le trinôme -2X²+X+1
6)Résoudre cos(α)+\(\frac{1}{2}\)=0 et cos(α)-1=0 sur [0;\(\pi\)].
7)En déduire le signe deA(α)' puis le tableau de variations de A
8)Quelle est la nature de ABC lorsque l'aire A est maximale?

Voila ce que j'ai fait:
1)r est le rayon du cercle. Mais après je bloque!
2)B(cosα;sinα) C(-cosα;-sinα) H(cosα;0)
3)J'arrive pas à démontrer!
4)A(α)' =cos(α)(1-cos(α))+sin(α)sin(α)=cos(α)-cos(α)+sin²(α)=cos(α)-cos(α)+(1-cos²(α))=-2cos²(α)+cos(α)+1
5)-2X²+X+1=0 -> ∆=9 -> X1=1 et X2=\(\frac{1}{2}\) donc -2X²+X+1= -2(X-1)(X+\(\frac{1}{2}\))
6) cos(α)=-\(\frac{1}{2}\)donc S={2\(\pi\)/3+k\(\pi\)}; cos(α)=1donc S={0}
Est-ce bon? Mais après je bloque!
Merci d'avance! Si quelqu'un peut m'aider ça serai gentil!

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Maria,

question 1 : 0 < a < pi, car si a > pi alors le triangle ABC ne sera plus direct.

question 2 :
Tes coordonnées sont fausses .... (revoir tes formules)
Remarques : * si les coordonnées polaires de B sont (r; a) alors celles de C sont .... (utilise la symétrie de la figure).
* H est le milieu de [BC], donc tu peux déterminer ses coordonnées cartésiennes (il y a une formule)

question 3 :
L'aire d'un triangle est égal à : base*hauteur/2.
Rappel : BC = \(\sqr{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\)

question 4, 5 et 6 : cela semble juste !
Remarque : tu as écrit "cos(α)=-1/2 donc S={2pi/3 + k*pi}" Pourquoi "+ k*pi" ?

SoSMath.

[Invité]

Bonjour
J'ai rectifié un peu ce que j'ai fait:
2)Car r= 1 donc \(x_B\)=1(-cos(α));\(y_B\)=1 sin(α) par conséquent B(-cosα;sinα) C(-cosα;-sinα) H(-cosα;0)
3) BC = \(\sqr{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\)=\(\sqr{(-cos(a)-(-cos(a)))^2+(-sin(a)-sin(a))^2}=-2sin(a)\)
AH=-4cos(α) mais après je bloque, je vois pas comment faire à trouver l'aire!
6) cos(α)=-\(\frac{1}{2}\)donc S={2\(\pi\)/3}; cos(α)=1donc S={0} sur[0;\(\pi\)]
Est-ce bon? Mais après je bloque!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maria,

Question 2 : Ce n'est pas écrit que r=1 ... dans ce cas B(rcos(a);rsin(a)) soit B(cos(a);sin(a)).
Pour C : comme C est le symétrique de B par rapport à (Ox) (axe des abscisses), alors C = [r;-a].
Pour H : ton rfésultat est faux car les coordonnées de B et C sont fausses.

Question 3 : à reprendre avec les bonnes coordonnées.

Question 7 : on veut le signe de f'(x) donc il faut résoudre f'(x) < 0 et f'(x) > 0.

SoSMath.

[Maria]

Je n'arrive pas à trouver les coordonnées! Pour trouver l'aire , il faut les coordonnées!

[SoS-Math(9)]

Maria,

je te donne les coordonnées (avec r=1) :
B(cos(a);sin(a)),
C(cos(a);-sin(a)),
H(cos(a);0).

Bon courage pour la suite,
SoSMath.

[Maria]

Merci ça va beaucoup m'aider, au début j'avais écris ça mais ça me paraissait bizarre! Après j'avais changé!

[SoS-Math(9)]

Bon courage pour la suite,
SoSMath.

[Maria]

Bonjour,
pour les 2 dernières questions, je ne sais pas comment faire, j'ai essayé de faire mais je bloque!

[SoS-Math(9)]

Maria,

Pour la question 7, il faut factoriser A'(a) en utilisant la factorisation de la question 5 (avec X = cos(a)).
Puis il faut étudier le signe de chaque facteur ... voir la question 6 !

Question 8, le tableau de variation de A(a) va te donner le maximum ...

SoSMath.

[Maria]

Bonjour,
Je ne comprends pas! Quand je fais la question 7, je bloque! De même, pour la question 8, pouvez-vous m'expliquez?

[sos-math(13)]

Bonjour,

on a :
A'(x)=-2cos²(α)+cos(α)+1
et
-2X²+X+1=-2(X-1)(X+\(\frac{1}{2}\))

Donc on peut factoriser A'(a) pour en simplifier l'étude de signe.
Il suffit de poser X=cos(a).

Mon collègue t'avais déjà résumé tout cela (et même davantage). Il reste quand même à faire les calculs, ou au moins à nous préciser pourquoi tu bloques...

Bon courage.