spé maths fraction continue

[Fanny]

bonsoir à tous

J'ai un problème sur un exercice de la spé maths, les deux dernières question me pose problème.

Voici le sujet :

Au troisième siècle avant J.C., dans son traité sur les dimensions du soleil et de la lune, Aristarque remplace le rapport 71755875 / 61735500 par 43/37, sans calculatrice! Voici une méthode pour résoudre ce problème :

1. Notons a = 71755875 et b = 61735500. Soient q0 et r0 le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
a) Démontrer que a/b = q0 + 1/(b0/r0) (1)
b) Ecrire la division euclidienne de b par r0, et en déduire b/r0, puis remplacer dans (1)
c) recommencer le procédé (le procédé du 1)a))


2) Montrer que si on néglige le dernier rapport des restes on obtient a/b =(environ) 43/37

3) avec une calculatrice, déterminer l'erreur commise par Aristarque en remplaçant 71755875 / 61735500 par 43/37.


ce que moi j'ai fait ( le début )

a ) Soit a = bq0+r0

a/b = bq0+r / r0 = q0+ r0/b = q0 + 1/ (b/r0)


b) Soit q' et r' le quotient et le reste de la division euclidienne de b ,

donc b = r0 * q' + r'

donc b / r0 = q'+r'

a/b = q0 + 1/(q'+r')

c)

a/b = q0 +( 1/ ( q0 + 1/ q0+1 / .... )


à partir de la 2 je coince complètement je ne sais pas comment on fait :/ quelqu'un peut il m'aider svp ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Fanny,

tu as écrit :

b = r0 * q' + r'

donc b / r0 = q'+r' et c'est faux ! tu as b / r0 = q'+r'/r0

donc a/b = q0 + 1/(q'+r'/r0).

Question 1c : tu as a/b = q0 + 1/(q' + 1/(q" + r"/r')) ....

Question 2 : on te dit de négliger le dernier des rapport des restes (r"/r'), donc il faut faire le calcul q0 + 1/(q' + 1/(q"))

question 3 : c'est un cacul d'erreur, donc il faut faire |valeur exacte - valeur approchée |.

SoSMath.

[Fanny]

Bonsoir Sos maths (9),

j'ai compris mon erreur pour le 1 b) mais pour le 1c je fais comment pour trouver les q' et q" ?? vu que je n'ai que les nombre a et b ??
Honnêtement je comprends rien à cette exercice.

[SoS-Math(9)]

Fanny,

Tu connais a et b .... voir la question 1 !

SoSMath.

[Fanny]

1. Notons a = 71755875 et b = 61735500. Soient q0 et r0 le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.

oui donc je calcule q0 et r0 ?

[SoS-Math(9)]

Oui Fanny !

SoSMath.

[Fanny]

d'accord sa me donne

q0 = 1 et r0= 10020375

et je refait la même chose en posant q' = 1 et r' 10020375 ??? pour à la fin arriver 43/37 , c'est bien sa ??

[SoS-Math(9)]

Fanny,

Relis ce qu'il faut faire !

il faut calculer q' et r' puis q" ...

SoSMath.

[Fanny]

je sais que a/b = q0 + 1/(q'+r'/r0). si je remplace par q0 et r0 se que j'ai trouver, il me manque 2 inconnus ...

[SoS-Math(9)]

Fanny,

Il me semble que tu as écrit : b = r0 * q' + r' (c'est-à-dire la division euclidienne de b par r0) !

donc tu peux calculer q' et r'.

SoSMath.

[Fanny]

oui mais j'ai toujours mes 2 inconnus qui sont q' et r' ...

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

j'ai l'impression que ça devient un dialogue de sourds.

Je crois que tu devrais reprendre les divisions successives en faisant les divisions à la main. Après celà , tu reprendrais tes calculs littéraux.

71755875 = 1 x 61735500 + 10020375

soit \(\frac{71755875}{61735500}=1+\frac{10020375}{61735500}=1+\frac{1}{\frac{61735500}{10020375}\) (1)

et on recommences avec la fraction qui est au dénominateur en divisant 61735500 par 10020375

61735500 = 6 x 10020375 + 1613250

donc \(\frac{61735500}{10020375}=6 +\frac{1613250}{10020375}=6+\frac{1}{\frac{10020375}{1613250}\)

maintenant tu peux remplacer dans (1), et on obtiens : \(\frac{71755875}{61735500}=1+\frac{1}{6+\frac{1}{\frac{10020375}{1613250}}\)


tu recommences une nouvelle fois, tu vas obtenir une fraction étagée avec 4 traits de fraction. En suite tu négliges la dernière fraction, et tu calcules ce que ça te donne.


Ensuite tu recommences avec les lettres pour bien comprendre ton problème.

sosmaths

[Fanny]

ah ok j'avais pas compris sa comme sa :/

merci beaucoup sosmaths (4)
donc ensuite je calculerais l'erreur commise en faisant |valeur exacte - valeur approchée |/ |valeur exacte.|

c'est bien sa ?

[SoS-Math(4)]

oui, c'est ça.

sosmaths

[Fanny]

Merci beaucoup pour votre aide sos maths (4) . J'ai tout compris du coup. Merci encore