Bonjour à vous !
Je suis en train de faire en ce moment les dérivées et j'ai un peu de souci au niveau d'un exercice...
"Soit f la fonction définie sur [1 ; +inf[ par f(x)= x * Racine de (x-1)"
1. a. Justifier le fait que f est dérivable sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Et bien dans f(x) on a une expression de la forme Racine de u, sa dérivée vaut u' / 2racine de u
Donc si on prend x ou u = 1 alors le dénominateur vaudra 0, or on ne peut pas diviser par 0
b. Calculer f'(x) pour x appartenant à ]1 ; +inf[. Donner le résultat sous la forme d'un unique quotient.
==> Je vous enlève les calculs mais si je ne me trompe pas je trouve f'(x) = (3x -2) / (2 racine de (x-1) )
c. En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Le signe du dénominateur est forcément positif vu que l'on exclut 1 (si x était égal à 1 on devrait diviser par 0)
On étudie donc le signe de 3x - 2. Or dès que x vaut 2/3, 3x - 2 = 0 donc sur l'intervalle [2/3 ; +inf[, f'(x) est positive
Donc f est croissante sur l'intervalle ]1 ; +inf[
2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...
3. a. Déterminer la limite de f en +inf
==> Sans la question d'avant on peut le faire car lim x = +inf lorsque x tend vers +inf
limite racine de (x-1) = +inf lorsque x tend vers +inf
Le produit des deux donne la limite de f(x) qui est +inf lorsque x tend vers +inf
b. Dresser le tableau de variation de f
==> Je ne suis pas sûr mais pour moi, elle est croissante (en partant de pour x = 1, alors f(x) = 0) et croît jusqu'en +inf pour x = +inf
Merci de votre aide si jamais il y a des erreurs ^^
Dérivées
-
sos-math(22)
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Re: Dérivées
Bonjour,
Par commodité, j'ai recopié ton message et écris mes remarques en vert.
Bonne continuation.
********************************************************************************************
Dérivées
Message non lude Antoine le Ven 7 Oct 2011 09:33
Bonjour à vous !
Je suis en train de faire en ce moment les dérivées et j'ai un peu de souci au niveau d'un exercice...
"Soit f la fonction définie sur [1 ; +inf[ par f(x)= x * Racine de (x-1)"
1. a. Justifier le fait que f est dérivable sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Et bien dans f(x) on a une expression de la forme Racine de u, sa dérivée vaut u' / 2racine de u
Donc si on prend x ou u = 1 alors le dénominateur vaudra 0, or on ne peut pas diviser par 0
C'est bien d'avoir pensé à la composée. Il te suffit de dire que \(\sqrt(u)\) est dérivable sur l'intervalle ]1;+inf[ car u l'est et est strictement positive sur cet intervalle. ne t'occupe pas de x=1, qui annule x-1, ce n'est pas demandé.
b. Calculer f'(x) pour x appartenant à ]1 ; +inf[. Donner le résultat sous la forme d'un unique quotient.
==> Je vous enlève les calculs mais si je ne me trompe pas je trouve f'(x) = (3x -2) / (2 racine de (x-1) )
résultat exact
c. En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Le signe du dénominateur est forcément positif vu que l'on exclut 1 (si x était égal à 1 on devrait diviser par 0)
mauvaise argumentation : écrire qu'une racine carrée est toujours positive
On étudie donc le signe de 3x - 2. Or dès que x vaut 2/3, 3x - 2 = 0 donc sur l'intervalle [2/3 ; +inf[, f'(x) est positive
Donc f est croissante sur l'intervalle ]1 ; +inf[
2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...
il s'agit d'étudier la dérivabilité de f en 1 (à partir de la définition).
3. a. Déterminer la limite de f en +inf
==> Sans la question d'avant on peut le faire car lim x = +inf lorsque x tend vers +inf
limite racine de (x-1) = +inf lorsque x tend vers +inf
Le produit des deux donne la limite de f(x) qui est +inf lorsque x tend vers +inf
cela semble correct
b. Dresser le tableau de variation de f
==> Je ne suis pas sûr mais pour moi, elle est croissante (en partant de pour x = 1, alors f(x) = 0) et croît jusqu'en +inf pour x = +inf
c'est bon
Par commodité, j'ai recopié ton message et écris mes remarques en vert.
Bonne continuation.
********************************************************************************************
Dérivées
Message non lude Antoine le Ven 7 Oct 2011 09:33
Bonjour à vous !
Je suis en train de faire en ce moment les dérivées et j'ai un peu de souci au niveau d'un exercice...
"Soit f la fonction définie sur [1 ; +inf[ par f(x)= x * Racine de (x-1)"
1. a. Justifier le fait que f est dérivable sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Et bien dans f(x) on a une expression de la forme Racine de u, sa dérivée vaut u' / 2racine de u
Donc si on prend x ou u = 1 alors le dénominateur vaudra 0, or on ne peut pas diviser par 0
C'est bien d'avoir pensé à la composée. Il te suffit de dire que \(\sqrt(u)\) est dérivable sur l'intervalle ]1;+inf[ car u l'est et est strictement positive sur cet intervalle. ne t'occupe pas de x=1, qui annule x-1, ce n'est pas demandé.
b. Calculer f'(x) pour x appartenant à ]1 ; +inf[. Donner le résultat sous la forme d'un unique quotient.
==> Je vous enlève les calculs mais si je ne me trompe pas je trouve f'(x) = (3x -2) / (2 racine de (x-1) )
résultat exact
c. En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Le signe du dénominateur est forcément positif vu que l'on exclut 1 (si x était égal à 1 on devrait diviser par 0)
mauvaise argumentation : écrire qu'une racine carrée est toujours positive
On étudie donc le signe de 3x - 2. Or dès que x vaut 2/3, 3x - 2 = 0 donc sur l'intervalle [2/3 ; +inf[, f'(x) est positive
Donc f est croissante sur l'intervalle ]1 ; +inf[
2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...
il s'agit d'étudier la dérivabilité de f en 1 (à partir de la définition).
3. a. Déterminer la limite de f en +inf
==> Sans la question d'avant on peut le faire car lim x = +inf lorsque x tend vers +inf
limite racine de (x-1) = +inf lorsque x tend vers +inf
Le produit des deux donne la limite de f(x) qui est +inf lorsque x tend vers +inf
cela semble correct
b. Dresser le tableau de variation de f
==> Je ne suis pas sûr mais pour moi, elle est croissante (en partant de pour x = 1, alors f(x) = 0) et croît jusqu'en +inf pour x = +inf
c'est bon
-
Antoine
Re: Dérivées
Bonsoir et merci d'avoir pris le temps de répondre à mon message.
"2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...
il s'agit d'étudier la dérivabilité de f en 1 (à partir de la définition)."
Je connais la définition qui dit que ''f est dérivable en a signifie que la fonction f : x [(f(x) - f(a) / (x-a)] admet une limite finie lorsque x tend vers a''
''On a f'(a) = lim x --> a [(f(x) - f(a) / (x-a)]"
En fait je ne comprends pas si je dois me servir de la fonction f : x [(f(x) - f(a) / (x-a)] ou bien de l'énoncé...
Car si j'ai bien compris, la limite à droite de f(x) pour x = 1 c'est environ 0 non ?
"2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...
il s'agit d'étudier la dérivabilité de f en 1 (à partir de la définition)."
Je connais la définition qui dit que ''f est dérivable en a signifie que la fonction f : x [(f(x) - f(a) / (x-a)] admet une limite finie lorsque x tend vers a''
''On a f'(a) = lim x --> a [(f(x) - f(a) / (x-a)]"
En fait je ne comprends pas si je dois me servir de la fonction f : x [(f(x) - f(a) / (x-a)] ou bien de l'énoncé...
Car si j'ai bien compris, la limite à droite de f(x) pour x = 1 c'est environ 0 non ?
-
sos-math(22)
- Messages : 1694
- Enregistré le : lun. 6 sept. 2010 16:53
Re: Dérivées
Bonsoir,
En fait, il faut vous servir des deux : de la définition du nombre dérivé et de la définition de f (de l'énoncé).
Ainsi, vous calculez la limite de \(\frac{x\times\sqrt{x-1}}{x-1}\) lorsque \(x\) tend vers 1.
Bonne continuation.
Rq. Vous ne trouverez pas comme résultat 0.
En fait, il faut vous servir des deux : de la définition du nombre dérivé et de la définition de f (de l'énoncé).
Ainsi, vous calculez la limite de \(\frac{x\times\sqrt{x-1}}{x-1}\) lorsque \(x\) tend vers 1.
Bonne continuation.
Rq. Vous ne trouverez pas comme résultat 0.
-
Antoine
Re: Dérivées
Bonsoir,
Ah merci (j'avoue que je ne comprends pas trop votre calcul...)
J'aurais mis [(x * racine de (x-1) - (1 * racine de (1-1))] / (x-1)
Ce qui revient à ce que vous mettez en fait...
Euh par contre si on cherche la limite à droite pour x = 1
On obtient du +inf si je me trompe pas ce coup-ci ?
Par contre pour le démontrer...
lim x-1 pour x --> 1 pour x > 1 c'est du 0+
Le numérateur c'est du +inf donc +inf sur 0+ c'est du +inf ?
Pourtant ça ne ressemble pas à une limite finie..
Ah merci (j'avoue que je ne comprends pas trop votre calcul...)
J'aurais mis [(x * racine de (x-1) - (1 * racine de (1-1))] / (x-1)
Ce qui revient à ce que vous mettez en fait...
Euh par contre si on cherche la limite à droite pour x = 1
On obtient du +inf si je me trompe pas ce coup-ci ?
Par contre pour le démontrer...
lim x-1 pour x --> 1 pour x > 1 c'est du 0+
Le numérateur c'est du +inf donc +inf sur 0+ c'est du +inf ?
Pourtant ça ne ressemble pas à une limite finie..
-
sos-math(22)
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- Enregistré le : lun. 6 sept. 2010 16:53
Re: Dérivées
Bonsoir,
Je reprends une partie de ton dernier message :
<<Par contre pour le démontrer...
lim x-1 pour x --> 1 pour x > 1 c'est du 0+>>
--->oui, c'est exact.
<<Le numérateur c'est du +inf donc +inf sur 0+ c'est du +inf ?>>
---> non, c'est du 0+ sur 0+, donc une forme indéterminée.
Pour lever l'indétermination, essaye de multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt{x-1}\).
Bonne continuation.
Je reprends une partie de ton dernier message :
<<Par contre pour le démontrer...
lim x-1 pour x --> 1 pour x > 1 c'est du 0+>>
--->oui, c'est exact.
<<Le numérateur c'est du +inf donc +inf sur 0+ c'est du +inf ?>>
---> non, c'est du 0+ sur 0+, donc une forme indéterminée.
Pour lever l'indétermination, essaye de multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt{x-1}\).
Bonne continuation.
-
Antoine
Re: Dérivées
Bonsoir,
Ah oui pourtant j'avais pris un exemple et je trouvais 32 et quelques donc bon...
Je vais essayer je vous dirai ce que ça me donne, merci bien :)
Ah oui pourtant j'avais pris un exemple et je trouvais 32 et quelques donc bon...
Je vais essayer je vous dirai ce que ça me donne, merci bien :)
-
Antoine
Re: Dérivées
Bonsoir,
En faisant ce que vous dîtes je trouve (x) / (Racine (x-1))
Par contre pour la limite ça fait du 1+ sur du 0
Donc je trouve toujours +inf, où est-ce que je me suis trompé ?
En faisant ce que vous dîtes je trouve (x) / (Racine (x-1))
Par contre pour la limite ça fait du 1+ sur du 0
Donc je trouve toujours +inf, où est-ce que je me suis trompé ?
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sos-math(22)
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- Enregistré le : lun. 6 sept. 2010 16:53
Re: Dérivées
1 sur 0+ (ne pas oublier le +)
puis, on obtient effectivement +oo, c'est bien.
Bonne continuation.
puis, on obtient effectivement +oo, c'est bien.
Bonne continuation.
-
Antoine
Re: Dérivées
Bonsoir,
Merci beaucoup !
Qu'est-ce que je peux en déduire en fait ?
Je pensais à une asymptote verticale mais est-ce que c'est vraiment ça ?
Merci beaucoup !
Qu'est-ce que je peux en déduire en fait ?
Je pensais à une asymptote verticale mais est-ce que c'est vraiment ça ?
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sos-math(22)
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- Enregistré le : lun. 6 sept. 2010 16:53
Re: Dérivées
oui, la fonction n'est pas dérivable en x=1, et sa courbe admet une asymptote verticale.
bonne continuation.
bonne continuation.
-
Antoine
Re: Dérivées
Bonsoir,
Okay mais il s'agit bien de la dérivée qui a une asymptote horizontale pour x = 1 pas la fonction n'est-ce pas ?
Merci pour toute votre aide et votre patience !
Okay mais il s'agit bien de la dérivée qui a une asymptote horizontale pour x = 1 pas la fonction n'est-ce pas ?
Merci pour toute votre aide et votre patience !
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sos-math(22)
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Re: Dérivées
non, la courbe de f (la fonction, pas sa dérivée) admet en x=1 une asymptote VERTICALE (pas horizontale).
bonne continuation.
bonne continuation.
-
Antoine
Re: Dérivées
Bonjour,
Merci mais je ne comprends pas pourquoi il y aurait une asymptote verticale à Cf en 1 alors que f(1) = 0....
Merci mais je ne comprends pas pourquoi il y aurait une asymptote verticale à Cf en 1 alors que f(1) = 0....
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sos-math(22)
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Re: Dérivées
Bonjour,
Regardez dans votre cours ou dans votre livre et cherchez l'exemple de la fonction racine carrée en 0+. C'est très classique. Si f désigne la fonction racine carrée. On a f(0)=0 et la courbe de f admet en 0 une tangente verticale pour des raisons analogues à ce qui se passe dans votre exercice.
Bonne continuation.
Regardez dans votre cours ou dans votre livre et cherchez l'exemple de la fonction racine carrée en 0+. C'est très classique. Si f désigne la fonction racine carrée. On a f(0)=0 et la courbe de f admet en 0 une tangente verticale pour des raisons analogues à ce qui se passe dans votre exercice.
Bonne continuation.