equations en term S

[giani]

bonjour , voici un exercice que j"avais cru simple et que je cherche depuis des heures!
a) x^4 + x ^3 - x + 1 = 0 ( j'ai dérivé f'(x) , f''(x) -->2 racines 0 et -1/2-->f'(x) s'annule entre 1/3 et 1/2 et ensuite le corollaire du th des V I et puis ...rien)
b)x² + sin x = 0 ( j'ai trouvé que 0 est solution puis que x devait appartenir à [ pi + 2 k pi , 2 pi + 2 k pi ] puis rien)
ensuite j'ai dérivé g'(x), g''(x)-->toujours positive donc g' croissante puis g decroissante et croissante mais je n'arrive pas à trouver le minima
Merci pour votre aide.

[sos-math(12)]

Bonjour Giani :

Tu as prouvé que la fonction dérivée \(f\prim(x)\) ne s'annule qu'une seule fois sur R. Tu es maintenant en mesure de dresser le tableau de signes de cette fonction dérivée et donc d'obtenir le tableau de variations de \(f(x)\).
Ce tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires devraient te permettre de conclure.
Pour la deuxième équation tu devrais commencer par trouver des conditions nécessaires sur \(x\).
Ensuite tu as prouvé que la fonction dérivée \(g\prim(x)\) ne s'annule qu'une seule fois en \(\alpha\).
A-t-on \(\alpha=0\) ?
Tu dois pouvoir conclure.
Bonne continuation.

[giani]

bonjour et merci pour votre réponse ,
pour la question a) , j'envisage de faire la recherche de la solution par dichotomie avec la calculatrice . Suis-je sur la bonne voie ?
Merci pour le temps que vous me consacrez.

[sos-math(20)]

Bonjour Giani,

Pour la a) tu peux en effet chercher la valeur qui t'intéresse avec la calculatrice : mais cela ne sera qu'une valeur approchée et cela ne te permettra pas de conclure. Le mieux, et le plus classique, est d'appeler cette valeur \(\alpha\) et de répondre à la question en fonction de ce \(\alpha\).

Bonne journée.

SOS-math

[giani]

Bonjour ,grâce à vos conseils :
j'ai réussi à prouver que x^4+x^3-x+1=0 n'a pas de solution
pour x²+sinx=0 , j'ai réussi à prouver que g'(x) est négatif sur ]-infini; c[ , nul en c et positif sur ]c;+infini[
Ensuite je sais que g'(c)=0 et que g'(0)=1: comme g' est CONTINUE et strictement croissante sur [c;+infini[ , j'en déduis que : c<0
Puis je sais que g est CONTINUE et strictement croissante sur [c;+infini[ , et que g(0)=0 , j'en déduis que : g(c)<0
comme la limite de g(x) au voisinage de l'infini est égale à -l'infini , la courbe de g(x) va donc couper l'axe des x sur la partie négative.
il y a donc 2 solutions : 0 et ce nombre négatif que je n'arrive pas à trouver.
Je me pose aussi une question : j'ai hésité ci-dessus pour l'hypothèse CONTINUE : est-ce que strictement croissante ne suffirait pas ?
Mercipour votre aide.

[sos-math(20)]

Bonsoir Giani,

Vos raisonnements sont corrects et la continuité est en effet indispensable.
Je tiens juste à vous préciser que dans la question 2), la limite en \(-\infty\) est égale à \(+\infty\); je pense qu'il s'agit d'une faute d'étourderie en tapant votre message.

Bonne soirée.

SOS-math

[giani]

bonjour et merci pour votre réponse ,
pourriez-vous me guider pour la fin de l'exercice pour trouver la valeur exacte de la solution négative de g(x)=0 ? Je n'arrive pas à conclure.
Merci beaucoup.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Giani,

Je suis désolé mais je ne "croît" pas que l'on puisse trouver la valeur exacte de la solution négative de g(x)=0 !
On peut en déterminer une valeur approchée (environ -0,88) avec une calculatrice (en utilisant la dichotomie).

SoSMath.