DM: Mise en équation et construction

[Marie]

Bonjour,

Cela fait maintenant plus d'un jour que je suis sur ce problème, et je n'y arrive pas. J'ai fait plusieurs tentatives, sans résultats. Je ne trouve pas de solution. J'ai testé avec le théorème de Pythagore, enfin la réciproque, mais cela ne m'avance pas, car ABC n'est pas rectangle (j'ai essayé par le calcul). Bref j'ai essayé tout un tas de truc, et je ne trouve toujours pas de solution. J'ai demandé de l'aide à d'autres personnes mais nous n'y arrivons pas. J'espère que vous pourrez m'éclairer. Merci d'avance.

Voici l'énoncé:

ABC est un triangle tel que AB= 6 cm, AC= 8 cm, et BC= 9 cm. M est un point de [BC]. Les parallèles à (AB) et (AC) menées par M coupent respectivement (AB) en N et (AC) en P. On se propose de construire la figure exacte lorsque MPAN est un losange.

A.Analyse

On pose BM= x avec 0<x<9

1. Démontrez que MN= 8/9x et MP= 6-2/3x

2.Existe-t-il une valeur de x pour laquelle MN=MP ?

B.Synthèse

En tenant compte de la valeur obtenue pour x, construisez la figure.

[sos-math(22)]

Bonjour,
C'est effectivement sans lien avec le théorème de Pythagore.
En revanche, c'est en lien très étroit avec le théorème de Thalès.
Je vous donne une indication afin de commencer :
\(\frac{BM}{BC}=\frac{MN}{AC}\)
Bonne continuation.

[Marie]

Merci.

Je m'embrouille moi même, j'ai tellement réfléchis que je ne sais plus comment faire.

Le seul problème est que je ne connais pas les mesures des segments (BM) et (MN).
J'ai réalisé la figure, en plaçant le point M n'importe où sur le segment [BC]. Puis j'ai construit un losange. Donc si je fais par rapport à ma figure cela donnerait: BM/BC = BN/BA = MN/AC
Donc~~> BM/9 = BN/6 = MN/8

[sos-math(22)]

oui, c'est cela, vos égalités de rapports sont justes.
ensuite, comme BM=x, on a :
x/9 = MN/8
D'où MN=\(\frac{8x}{9}\).
Bonne continuation.

[Marie]

Je vous remercie. Je crois que je viens -enfin- de comprendre.

Par ce calcul, je viens donc de confirmer que MN était bien égal à 8/9x.
Si j'ai bien compris, je dois exécuter la même démarche pour MP. C'est cela?
Ce qui donnerait: BM/BC = AP/AC = MP/AB
Donc~~> x/9 = AP/8 = MP/6

[sos-math(22)]

Oui, il faut bien recommencer une autre le théorème de thalès, mais vos rapports sont inexacts.
Vous pouvez choisir A ou C comme sommet de référence et vous y tenir.
Essayez...

[Marie]

J'ai donc testé avec mes rapports. Effectivement je ne trouve pas le bon résultat.
A la fin du calcul, je trouve MP= 2/3x
Je dois donc prendre comme référence le sommet C, ce qui donne: CP/CA = CM/CB = MP/AB
Ce qui donnerait: CP/8 = CM/9 = MP/6
Mais je me retrouve bloquée car dans ces rapports, il n'y a pas BM.

[sos-math(22)]

voilà, cette fois-ci c'est bon, vous y êtes presque...
utilisez CM/9 = MP/6.
Comme M appartient au segment [BC], on a : CM=...
bonne continuation.

[Marie]

•CM = BC/2 = 9/2 = 4.5 ???

4.5/9 = MP/6

MP = 4.5x6/9= 3

Hum.. non ce ne doit pas être ceci. Je n'ai pas du faire la bonne démarche.

•Dans ce cas CM= BC-BM= 9-x

Donc MP= 9-x fois 6/9

C'est cela ?

[sos-math(22)]

Oui, effectivement, M n'est pas nécessairement au milieu de [BC].

D'ailleurs, sur votre figure, il faudrait éviter de le placer au milieu.

La deuxième solution est correcte, à condition de mettre une parenthèse autour de 9-x.

Bonne continuation.

[Marie]

Merci bien.

Par contre je n'arrive pas vraiment à résoudre ce calcul. J'ai commencé à simplifier.

MP = (9-x)6/9
MP = (9-x)2 fois 3/ 3 fois 3
MP= (9-x)2/3

Après, je ne sais pas trop comment faire.. La distributivité? Suis-je mal partie?

Merci d'avance.

[sos-math(22)]

oui, vous avez presque terminé :
\(MP= \frac{2}{3}(9-x)=6-\frac{2}{3}x\)
Bonne continuation.

[Marie]

Merci! J'ai réussi!

Je vous remercie énormément pour votre aide. Sans vous je ne crois pas que j'y serais arrivée. Grâce à vous, j'ai compris cette première question.

Je vais désormais essayé de réaliser la seconde question, en espérant que j'y arriverais.
Pour la seconde question, je pensai faire plusieurs tests, que j'ai réalisé, avec chaque nombre entier, mais ça n'a pas marché.
Je pense donc qu'il faut que j'effectue une équation, telle que: 8/9x = 6-2/3x, mais je n'en suis pas sûre..

Merci encore.

[sos-math(22)]

Bien sûr, il faut résoudre cette équation.
Bonne continuation.

[Marie]

Voilà maintenant que je réalise plusieurs tentatives, mais je n'y arrive pas. Je dois avouer que 2 mois de vacances ne m'ont pas vraiment fait du bien...

Voici mes essais:

8/9x.6-2/3x
-6x=-2/3x-8/9
-6x=-14/9x
-6x dois 9=-14x
-54x=-14x
-2x=-14+54
-2x=40
x=40/2
x=20

Celle-ci me parait vraiment très fausse.
Voici mon second essais que je n'ai pas aboutis.

8/9x=18/3-2/3x
8/9x=16/3x
x=16/3x-8/9
x=48/9-8/9x
x=40/9x

Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?

Merci d'avance.