Bonsoir,
Voilà comment je conçois l'axiome du raisonnement par récurence :
OBJECTIF : montrer qu'une proposition Pn est vraie pour tout nombre entier positif
ETAPE 1 : je montre que P0 est vraie (c'est-à-dire que Pn est vraie pour n=0)
ETAPE 2 : soit n un entier QUELCONQUE donné vérifiant Pn (c'est-à-dire tel que Pn est Vraie).
Je montre alors que Pn+1 est vraie.
CONCLUSION : pour tout entier n, Pn est vraie.
J'ai trouvé dans le cours d'un camarade, la formulation suivante concernant l'ETAPE 2 :
Supposons qu'il existe un entier n tel que Pn est vraie et montrons que Pn+1 est vraie.
Pour moi, cette formulation n'est pas juste : il s'agit de montrer que Pn implique Pn+1 pour TOUT entier n tel que Pn est vraie et en plus le problème de l'existence est règlé par l'ETAPE 1.
Nous n'arrivons pas à nous mettre d'accord: pourriez-vous nous dire laquelle des deux versions est bonne (ou si elles sont éventuellement bonnes toutes les deux)
MERCI BEAUCOUP
Cédric
raisonnement apr récurrence
-
Invité
-
SoS-Math(1)
- Messages : 3151
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 10:48
Récurrence
Bonjour,
C'est la formultion de votre camarade qui est juste.
On suppose que \(P_{n}\) est vraie pour démontrer que \(P_{n+1}\) est vraie.
Ainsi puisque \(P_{0}\) est vraie, alors \(P_{0+1}\) sera vraie et ainsi de suite...
Votre phrase; "il s'agit de montrer que Pn implique Pn+1 pour TOUT entier n tel que Pn est vraie" est absurde puisque si \(P_{n}\) est vraie pour tout n, alors il n'y a plus rien à démontrer!!!
Bon courage pour ces bonnes questions que vous vous posez.
C'est la formultion de votre camarade qui est juste.
On suppose que \(P_{n}\) est vraie pour démontrer que \(P_{n+1}\) est vraie.
Ainsi puisque \(P_{0}\) est vraie, alors \(P_{0+1}\) sera vraie et ainsi de suite...
Votre phrase; "il s'agit de montrer que Pn implique Pn+1 pour TOUT entier n tel que Pn est vraie" est absurde puisque si \(P_{n}\) est vraie pour tout n, alors il n'y a plus rien à démontrer!!!
Bon courage pour ces bonnes questions que vous vous posez.
-
Invité
raisonnement par récurrence
Merci beaucoup.
Vous m'avez convaincu que la phrase de mon camarade est juste. Mais je ne vois pas pourquoi ma formulation de l'étape 2 serait incorrecte:
je me donne un entier n vérifiant Pn (sous-entendu qu'il existe un entier n tel que Pn soit vérifiée) et il s'agit de montrer que Pn+1 est alors vraie (ce qui est différent de la conclusion : je ne suppose pas que Pn est vrai pour tout n).
DEUXIEME QUESTION : pourrait-on aussi formuler l'étape 2 de la façon suivante :
supposons que n soit un entier donné quelconque vérifiant Pn et montrons qu' alors Pn+1 est vraie.
Cordialement,
Cédric
Vous m'avez convaincu que la phrase de mon camarade est juste. Mais je ne vois pas pourquoi ma formulation de l'étape 2 serait incorrecte:
je me donne un entier n vérifiant Pn (sous-entendu qu'il existe un entier n tel que Pn soit vérifiée) et il s'agit de montrer que Pn+1 est alors vraie (ce qui est différent de la conclusion : je ne suppose pas que Pn est vrai pour tout n).
DEUXIEME QUESTION : pourrait-on aussi formuler l'étape 2 de la façon suivante :
supposons que n soit un entier donné quelconque vérifiant Pn et montrons qu' alors Pn+1 est vraie.
Cordialement,
Cédric
-
Invité
suite du raisonnement par récurrence
Je sui tout à fait d'accord avec vous mais je voulais parler de l'ambiguïté de certaines formulations. J'ai trouvé un site qui soulève ce problème et m'a donné des compléments de compréhension.
Merci
Voici l'adresse de ce site
http://sierra.univ-lyon1.fr/irem/logiqu ... /diff.html
Cordialement, Cédric
Merci
Voici l'adresse de ce site
http://sierra.univ-lyon1.fr/irem/logiqu ... /diff.html
Cordialement, Cédric
-
SoS-Math(10)