Fonction polynome du second degré

[Elisa]

Bonsoir,
J'ai un exercice à faire, mais je ne comprends pas la première question, ce qui m'empêche d'avancer.
J'espère que vous pourrez m'aider.

Exercice:
Soit a un nombre réel non nul fixé. On considère alors une fonction polynômr du second degré P telle que, pour tout réel x, P(x)=P(x+a)
Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tout nombre réel x, P(x)=P(a). Ceci nous amène à introduire le polynome Q défini sur R par Q(x)=P(x)-P(a).
1) Calculer Q(a), Q(2a) et Q(3a)
J'ai un essayer , et j'ai trouvée pour q(a): Q(a)=P(a)-P(a)= 0
mais ensuite, pour Q(2a) et Q(3a) je bloque,
Q(2a)=Q(a+a)=P(a+a)-P(a)= ??

2) Combien de racines possède la fonction polynome Q ?
3) Conclure.

Merci d'avance!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Elisa,

Tu as bien commencé, p(x+a)=P(x) donc P(a+a) = P(a) tu peux compléter ton égalité pour Q(2a).

Tu as P(3a) = P(2a+a)= P(2a) = ... ; déduis-en Q(3a).

Un polynôme qui s'annule pour une infinité de valeurs est identiquement nul, déduis-en la valeur de Q(x) puis de P(x).

Bonne continuation

[Elisa]

Bonjour,
Merci pour votre aide, mais je comprends pas très bien je crois.
Q(2a)=0
et Q(3a)=0 ??

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Vous avez bien compris Elisa et vos résultats sont justes.
A bientôt sur SoS-Math

[Elisa]

Bonjour,
Oh c'est juste. Merci beaucoup.
Mais j'ai encore une petite question, j'ai pas très bien compris la question 2, il faut dire quoi ?

[sos-math(20)]

Bonjour Elisa,

Une racine d'une fonction polynôme Q est un réel a tel que Q(a)=0. On vous demande combien de réels a sont racines du polynôme Q étudié dans votre exercice.
Pour la question 3), prenez le temps de tout relire car la réponse s'y trouve déjà.

Bonne fin de journée.

SOS-math

[Elisa]

Bonjour!
Je comprends pas super bien, mais il n'y a que racine de 0 qui est égal à 0 non ?
Pour la 3) j'ai pas encore réfléchis. C'est pour tout nombre réel x, P(x)=P(a) , c'est ça conclure ?

Bonne fin de journée à vous aussi.

[SoS-Math(9)]

Elisa,

tu vas trop vite ...

Tu as Q(a) = 0 donc a est racine de Q.
Tu as aussi Q(2a) = 0 donc 2a est racine de Q.
Q(30) = 0 ..... etc

Combien peux-tu alors trouvé de racines au polynôme Q ?
Cette réponse te donne la réponse à la question suivante !

SoSMath.

[Elisa]

Bonjour, excusez moi j'avais pas bien compris.
Le polynôme Q a donc une infinitée de racines ? c'est ça ?
Q(na)=0 pour tout entier n.
Et je conclue ça ?

merci!

[SoS-Math(9)]

C'est exactement cela !

Et quel polynôme a une infifnité de racine ?

SoSMath.

[Elisa]

La fonction polynome nulle ?

[SoS-Math(9)]

Réponse exacte, Elisa.

SoSMath.

[Elisa]

Merci beaucoup !
à bientot.

[Elisa]

Et je dis rien pour P ?

[SoS-Math(9)]

Elisa,

Tu as Q(x)=P(x)-P(a) et Q(X) = 0
Donc P(x) = ...

SoSMath.