DM complexes

[Will]

Bonjour,

Le prof à donner un dm dont je suis bloqué sur une question simple je suppose.

L'objectif de cet exercice consiste à résoudre l'équation du quatrième degré suivante : z^4 + (racine 3 - 1)z^3 + (2- racine 3)z^2 + (racine 3 - 1)z +1 dont les coefficients sont symétriques.

1) Résoudre l'équation d'inconnue Z : Z^2 + (racine 3 -1)Z - racine 3 =0

2) Résoudre dans C , les équations d'inconnue z : z + 1/z = 1 et z + 1/z = -racine 3

3) Soit P le polynôme défini par : P(z) = z^4 + (racine 3 - 1)z^3 + (2- racine 3)z^2 + (racine 3 - 1)z +1
a) Vérifier que l'équation P(z) =0 équivaut à : p(Z)/z² =0
b) En posant Z = z + 1/z, exprimer P(z)/ z² en fonction de Z. En déduire les solutions de P(z) = 0

J'ai réussit a faire la question 1

Calcule le discriminant
delta=b²-4ac
=(racine 3 - 1)² -4*racine3
=4 + 2racine3
= (1 +racine 3 )² Vue que c'est positif il y a donc 2 solutions dans IR

X1 = -b-racine delta/2a
=-racine 3+ 1 - racine 3 +1/2
X1=- racine 3 + 1

X2 = -b + racine/2a
=-racine 3 + 1 racine 3 + 1/2
= 1
Les solutions sont S: - racine 3 + 1 et 1

Après c'est la question 2 que je bloque, un problème de méthode qui fais que je n'arrive pas.
Pouvez vous me donner un conseil?

Merci Will

[sos-math(20)]

Bonsoir Will,

Essayez la réduction au même dénominateur du membre de gauche puis le produit en croix dans l'égalité ...

Bon courage.

SOS-math

[Will]

Bonjour Sos- maths 20

Si j'ai bien compris ce que vous dites

z + 1/z = 1
<=>z+1/z² = 1
<=>z+1=z²
<=>z(-z +1 ) + 1=0
<=>z = -1/1-z

Will

[sos-math(20)]

Bonsoir Will,

Quelle est votre première ligne de calcul : \(z+\frac{1}{z}=1\) ou \(\frac{z+1}{z}=1\) ?

Dans les deux cas, je ne comprends pas votre seconde ligne.

Par contre, à la troisième ligne, il s'agit d'une équation du second degré : il faudra donc calculer delta, etc ...

SOS-math

[Will]

Bonsoir, Sos- maths 20

la seconde ligne est la seconde (z+1)/z = 1 .

Ah d'accord, grosse erreur d’inattention... va falloir être plus vigilant.


Merci

[sos-math(20)]

Bon courage pour la suite.

SOS-math