Dm nombre complex pour lundi 18 septembre 2011

[bouuriquet]

bonjours a tous, j'ai un gros probleme avec mon dm de math que je n'arrive pas a faire, voici l'enoncé,

ON considere le polynome P définie par p(z)= Z^4-2Z^3+Z²-8Z-12

1) Montrer que P possède deux racines imaginaires pures.

2) En déduire deux polynômes Q et R, du second degré, à coefficients réels,tel que pour tout complexe z, P(z) = Q(z) * R(z)

3) En déduire la résolution de l'équation P(z) = 0, dans R et dans C.

4) Interpréter graphiquement les racines réelles du polynôme P.

la question 1) est faite je trouve 2 et -2 mais pour le reste ... je ne sais pas comment procédé

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

D'abord 2 et -2 ne sont pas des racines imaginaires pures, ce sont des réels;

Il faut donc retrouver ces racines , en remplaçant Z par ai dans l'équation et en cherchant le réel a.

Pour la suite il faudra déduire une factorisation possible grâce aux deux racines trouvées.

sosmaths

[bouuriquet]

justement pour la 1) j'ai remplacé z par iy donc sa me donne
(iy)^4-2(iy)^3+(iy)²-8(iy)-12
1y^4-2iy^3-1y²-8iy-12
1y^4-1y^2-12 = 0 2iy^3-8iy=0
1y^4-1y²=12 2y(y²-4)=0
(y²-y)(y²+y)=12 2y=0 ou (y²-4)=0
y=-2 ou y²=4
y=racine(4)
y=2

[SoS-Math(4)]

d'abord y²=4 signifie y=2 ou y=-2

D'autre part y est un réel, bien sur, mais les imaginaires purs trouvés sont donc 2i et -2i, puis qu'ils s'écrivent yi.

Donc ça signifie que l'on peut factoriser (z-2i)(z+2i)=(z²+4)

Donc P(z)=(z²+4)(az²+bz+c)

Il va falloir que tu cherches a, b, c.

sosmath

[bouuriquet]

j'ai trouvé p(z)=(z²+4)(z²-2z-3) donc grace a sa je vais pouvoir repondre a la question 3) mais pour les les deux polynome ? je fais commennt enfet ?

[SoS-Math(4)]

Le premier polynome, c'est la première parenthèse, le second polynome , la seconde parenthèse.

sosmaths

[bouuriquet]

ha dac merci =) beaucoup =D

[SoS-Math(4)]

ok, a bientôt

sosmath