N divise...

[Antoine]

Bonjour !
Voilà je suis un peu embêté au niveau d'un exercice de spé maths..

Mon exo
"Dans cet exercice n est un nombre entier''

a. Montrer que n-2 divise n^n -5n +11 alors n-2 divise 3n -11
b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles n-2 divise n^n -5n +11

Je ne sais pas trop comment faire.. Est-ce que vous pourriez m'aider ?
Merci

Antoine

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antoine,

As-tu écrit tout l'énoncé de ton exercice ?
n^n -5n +11 = \(n^n -5n +11\) ou \(n^{n -5n +11}\) ?

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
Pardon il s'agit de n au carre dans l'expression...

[SoS-Math(9)]

Antoine,

C'est plus simple comme cela !

(n-2) divise (n²-5n+11), donc il existe un entier k tel que k(n-2) = n²-5n+11.
tu peux alors ajouter dans les deux membres de ton égalité 3n-11 .... ensuite essaye de factoriser (n-2) ....

Bon courage,
SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
J'ai essayé mais je ne comprends pas à quoi je dois arriver en fait...

Une chose de la forme k(n-2) = 3n-11 ?

En partant de k(n-2) = n² -5n +11
k(n-2) +3n -11 = n² -5n +11 +3n -11
k(n-2) +3n -11 = n² -2n
k(n-2) +3n -11 = n(n-2)

Après je ne comprends pas trop ce que je dois faire...

[SoS-Math(9)]

Antoine,

Tu as presque terminé ...

tu as : k(n-2) +3n -11 = n(n-2) soit 3n -11 = n(n-2) - k(n-2) soit 3n -11 = (n-k)(n-2) donc n-2 divise 3n-11 !

Pour la question suivante, trouve toutes les valeurs possibles de n tel que n-2 divise 3n-11 puis vérifie celles qui divise n²-5n+11.
(Utilise un tableur pour tester des valeurs...)

SoSMath.

[Antoine]

Bonsoir,
J'ai compris pour la première question sauf pour comment trouver les valeurs possibles de n tel que n-2 divise 3n-11...

Est-ce que je peux dire que n-2 divise n-2 et qu'il divise aussi 3n-11 ?
Ensuite je peux faire une combinaison linéaire non ?

En disant : n-2 divise n-2 mais divise 3n-11
Donc n-2 divise 3(n-2) -(3n-11)
Donc n-2 divise 3n-6 -3n +11
Donc n-2 divise 5

Ensuite je cherche les diviseurs de 5, soient {-5 ; -1 ; 1 ; 5}
Donc si n-2 = -5 alors n = -3
Donc si n-2 = -1 alors n = 1
Donc si n-2 = 1 alors n = 3
Donc si n-2 = 5 alors n = 7

Et ensuite je vérifie dans l'autre de type n² -5n +11 ?

[SoS-Math(9)]

Oui antoine,

Il te reste à vérifier que pour n=1 ou 3 ou 7 on a (n-2) qui divise (n²-5n+11).

SoSMath.

[Antoine]

Bonsoir,
"Il te reste à vérifier que pour n=1 ou 3 ou 7 on a (n-2) qui divise (n²-5n+11)."

Euh on peut bien prendre n = -3 vu que n est un nombre entier non ?
En tout cas j'ai testé et j'ai trouvé :

Lorsque n = -3, alors c'est égal à -7
Lorsque n = 1, alors c'est égal à -7
Lorsque n = 3, alors c'est égal à 5
Lorsque n = 7, alors c'est égal à 5

Est-ce que vous trouvez pareillement ?

[SoS-Math(9)]

Antoine,

n est un nombre entier (ensemble IN), donc il est positif .... (sinon on parle d'entier relatif (ensemble Z)).

Pour n = 1 : on a n-2 = -1 et n²-5n+11 = 7. Comme -1 divise 7, donc n=1 est solution.
à toi de continuer.

SoSMath.

[Antoine]

Bonsoir,
Je trouve pareil que vous mais je ne comprends pas une chose...

Le ''n'' peut bien être négatif vu que c'est un nombre ENTIER et pas un nombre ENTIER NATUREL non ?
Mais apparemment on dit entier relatif donc merci ^^

On a donc que 3 cas et j'ai :
Lorsque n = 1, alors c'est égal à -7
Lorsque n = 3, alors c'est égal à 5
Lorsque n = 7, alors c'est égal à 5

Vous trouvez pareil ?
Merci en tout cas !

PS: Donc selon vous je prends que les n positifs on me pénalisera pas dans la correction ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antoine,

Je suis d'accord pour les calculs, mais tu ne réponds pas à la question .... n-2 divise-t-il n²-5n+11 ?

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
Oui n-2 divise n²-5n +11 lorsque n = 1, ou n = 3 ou n = 7 non ?

Je ne vois pas ce que je dois rajouter de plus ici ?


PS: J'ai un second exo où j'ai un petit souci, dois-je le poster ici ou refaire un sujet s'il vous plaît ?

[SoS-Math(9)]

Antoine,
il n'y a pas de problème, il faut juste vérifier !

Pour l'autre exercice, il faut poster un autre sujet.

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
Oui en fait je l'avais marqué le post d'avant ma vérification désolé si ce n'était pas assez clair ^^'

Merci bien en tout cas je fais un autre sujet !