Bonjour,
Je suis en gros blocage sur un exercice de fonction.
Voilà l'énoncé:
"Soit f la fonction définie par f(x) = x^3/(x^2-1). Soit D la droite d'équation y=x. Soit Cf sa courbe représentative dans un repére orthonormé.
1) Déterminer la limite f(x) sur x->1,x>1 et sur x->1, x<1. Interpréter géométriquement
2) Montrer qu'il existe, et déterminer, quatre réels a, b, c e t d tels que pour tout x appartient à Df f(x)= ax+b+(cx+d)/(x^2-1).
3)Démontrer que Cf admet la droite D comme asymptote oblique au voisinage de + infini. En déduire la limite de f en + infini.
4) Etudier la variation relative de Cf et D pour X>0."
Je ne comprends pas grand chose aux questions, et souhaiterais une aide de votre part s'il vous plait
Amicalement,
Comprtement asymptotique
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Manon92
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SoS-Math(11)
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Re: Comprtement asymptotique
Bonsoir Manon,
La limite quand x tend vers 1 est simple à trouver, x² - 1 s'approche de 0 quand au numérateur il s'approche de 1, quand on divise par un nombre de plus en plus proche de 0 le résultat devient de plus en plus grand. Donc la limite sera \(+\infty\) ou \(-\infty\) suivant que x² - 1 est positif ou négatif.
Pour la question 2, \(ax+b +\frac{cx + d}{x^2-1}=\frac{(ax+b)(x^2-1)+cx+d}{x^2-1}\). Développe le numérateur, tu vas trouver \(ax^3+bx^2 ...\).
Comme la fonction donnée est \(\frac{x^3}{x^2-1}\) tu dois avoir \(a=1\) et \(b=0\) car il y a \(1 x^3\) et \(0 x^2\) continue à développer et à identifier les coefficients pour trouver c et d.
Pour la question 3 Utilise la propriété si \(f(x)=ax+b+g(x)\) avec \(\lim_{x \to +\infty}{g(x)}=0\) alors la droite d'équation \(y=ax+b\) est asymptote, conclus en utilisant le résultat de la question 2.
Pour la question 4, en reprenant les notations de la question 3, si g(x) est positif la courbe est au dessus de la droite et si g(x) est négatif c'est l'inverse.
Bon courage
La limite quand x tend vers 1 est simple à trouver, x² - 1 s'approche de 0 quand au numérateur il s'approche de 1, quand on divise par un nombre de plus en plus proche de 0 le résultat devient de plus en plus grand. Donc la limite sera \(+\infty\) ou \(-\infty\) suivant que x² - 1 est positif ou négatif.
Pour la question 2, \(ax+b +\frac{cx + d}{x^2-1}=\frac{(ax+b)(x^2-1)+cx+d}{x^2-1}\). Développe le numérateur, tu vas trouver \(ax^3+bx^2 ...\).
Comme la fonction donnée est \(\frac{x^3}{x^2-1}\) tu dois avoir \(a=1\) et \(b=0\) car il y a \(1 x^3\) et \(0 x^2\) continue à développer et à identifier les coefficients pour trouver c et d.
Pour la question 3 Utilise la propriété si \(f(x)=ax+b+g(x)\) avec \(\lim_{x \to +\infty}{g(x)}=0\) alors la droite d'équation \(y=ax+b\) est asymptote, conclus en utilisant le résultat de la question 2.
Pour la question 4, en reprenant les notations de la question 3, si g(x) est positif la courbe est au dessus de la droite et si g(x) est négatif c'est l'inverse.
Bon courage
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Manon92
Re: Comprtement asymptotique
Bonsoir,
Par identification, je trouve a=1, b=0, c=1 et d=0 donc f(x)= x+x/(x²-1), mais après je n'arrive pas à comprendre vos explications.
Par identification, je trouve a=1, b=0, c=1 et d=0 donc f(x)= x+x/(x²-1), mais après je n'arrive pas à comprendre vos explications.
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SoS-Math(7)
- Messages : 4004
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:04
Re: Comprtement asymptotique
Bonsoir Manon,
Ce que tu as fait est juste. Pour démontrer que D est une asymptote à Cf au voisinage de \(+\infty\), il faut démontre que \(\lim_{x \to +\infty}{f(x)-x}=0\) puisque l'équation de D est y=x.
Je te laisse poursuivre.
Bonne continuation.
Ce que tu as fait est juste. Pour démontrer que D est une asymptote à Cf au voisinage de \(+\infty\), il faut démontre que \(\lim_{x \to +\infty}{f(x)-x}=0\) puisque l'équation de D est y=x.
Je te laisse poursuivre.
Bonne continuation.