Sujet Suites

[Anto']

Bonjour.
Pour m’entraîner suite à un passage forcé, je refais tous mes examens de matière scientifiques. J'ai re-appris mon cours sur les suites. Voici donc l'exercice concernant ce chapitre :

Exercice 1 :
(les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite (Un) définie par (U0) et, pour tout nombre entier naturel n : U(n+1) = 1/3 Un + 4
On pose, pour tout nombre entier naturel n, Vn = Un - 6

a) Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.
b) Exprimer Vn et Un en fonction de n.
c) Etudier la convergence de la suite (Un).

2. On considère la suite dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n > ou = à 1 :
nWn = (n+1)W(n-1) + 1 et W0 = 1.

a) Donner la valeur de chacun des termes suivants : W0 jusqu'à W9
Que peut-on conjecturer sur la nature de la suite?

b) Déterminer la nature de la suite (Wn). Calculer W2011.

Mes (débuts de) réponses :

1.
a)Pour prouver que la suite Vn est géométrique, il suffit d'appliquer la formule (Un+1)/(Un). Si le résultat de cette opération est un réel (nommé q), indépendant de n. Alors la preuve est donnée. Seulement, je ne connais pas U0. Comment faire dès lors?
b)
c)

2.
a)
W0 = 1
W1 = 3
W2 = 5
W3 = 7
W4 = 9
W5 = 11
W6 = 13
W7 = 15
W8 = 17
W9 = 19

Par intuition, il est possible de conjecturer que la suite Wn est une suite arithmétique, car à chaque palier calculé correspond la même raison : 2 .

b) Si Un = U0 + nr, alors Un est une suite arithmétique. Pour déterminer sur Wn est bien une suite arithmétique ou non, il suffit d'appliquer cette formule sur un terme déjà connu.
W9 = W0 + 9 * r
W9 = 1+ 9 * 2
W9 = 1 + 18 Equ. à W9 = 19.

La suite (Wn) est donc bien une suite arithmétique.


Soit W0 = 1, le premier terme de cette suite.
D'après la formule "Un = U0 + nr", on en déduit que W2011 = 1 + 2011 * 2 ; soit W2011 = 4023.


Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

Pour la question 1, il ne faut pas faire \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) mais \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) car on veut montrer que (vn) est géométrique.

Question 2a : c'est bien.

Question 2b, pour démontrer que (wn) est arithmétique il faut calculer w(n+1)-wn et vérifer que cette différence est une constante quelque soit l'entier n ou bien faire un récurrence avec comme hypothèse (wn) suite arithmétique de raison 2 et w0 = 1 (soit wn= 2n+1).
NB : ici il faut faire une récurrence ...

SoSMath.

[Anto]

Bonjour.

Question 1 : J'applique la formule, et j'arrive à (1/3)Un + 4 / Un - 6 . Mais comment continuer? Je n'ai pas de premier terme qui pourrait me permettre de déterminer un réel q...

Question 2b : N'est ce pas ce que j'ai fait? J'ai calculé les 9 premiers termes, et conjecturé une raison r = 2 (à chaque rang, la suite se voit majorée d'une valeur qui vaut 2).
Puis, en appliquant la formule "Wn+1 = W0 + nr", j'ai obtenu le même résultat pour W9 qu'en calculant à partir de "nWn = (n+1)W(n-1) + 1". Et d'après le cours : "u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 si et seulement si, pour tout n appartenant à N, Un = U0 + nr".

Alors Wn est bien une suite arithmétique de raison 2, non?

Merci!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Anto,

Question 1 : C'est faux ! Il faut être plus rigoureux .... \(\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}-6}{u_n-6}=\frac{\frac{1}{3}u_{n}+4-6}{u_n-6}=...=\frac{1}{3}\)
Donc tu n'as pas besoin du 1er terme !

Question 2 : tu as vérifié pour une valeur de n (pour n=9) et un exemple n'est pas une preuve. Donc c'est faux !
Il faut démontrer par récurrence que \(w_n\)= 2n+1 (c'est-à-dire que \((w_n)\) est arithmétique de raison 2 et 1er terme \(w_0\) = 1).

SoSMath.

[Anto]

Bonjour!

Pourriez-vous me montrer le détail du calcul pour la question 1? J'ai essayé de le refaire, mais je tourne en rond : je ne parviens pas à éliminer les "Un" pour obtenir un réel q = 1/3, et je finis par retomber sur l'équation de départ.

Pour la question 2, vous me dites que pour prouver que Wn est une suite arithmétique, il faut utiliser la récurrence, C'est à dire prouver que Wn = 2n + 1.
Il est dit dans l'énoncé que nWn = (n+1)W(n-1) + 1 ; soit Wn = ( (n+1)W(n-1) + 1 ) / n.
Il faut donc logiquement que je parte de cette définition de la suite Wn pour en arriver à "Wn = 2n +1".
Néanmoins, je ne parviens pas à commencer le calcul. Pourriez-vous m'indiquer une voie?

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour


Voici, execptionnellement, le détail \(\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}-6}{u_n-6}=\frac{\frac{1}{3}u_{n}+4-6}{u_n-6}=\frac{\frac{1}{3}u_{n}-2}{3(\frac{1}{3}u_n-2)}=\frac{1}{3}\).

Question 2 : Encore une fois il faut faire une récurrence ....
Soit \(P_n\) la propriété : pour tout n, \(w_n\) = 2n +1.
On vérifie les premiers termes ...
On suppose \(P_n\) vraie au rang n. Alors il faut montrer que \(P_{n+1}\) est vraie.
D'après la définition de \(w_n\), on a \(w_{n+1}=\frac{(n+2)w_n+1}{n+1}\).
On utilise alors l'hypothèse de récurrence : \(w_n\) = 2n +1.
Etc ...

SoSMath.

[Anto]

Bonjour.

Merci de m'avoir montré la clef de l'opération. C'était tout bête, mais je cherchais compliqué. J'ai compris maintenant!

Pour la question 2 : j'ai relu le programme de première S, et prouver qu'une suite est arithmétique par récurrence n'en fait pas partie : C'est du programme de Terminale S, et je ne souhaite pas l'aborder avant l'année prochaine. Le raisonnement que je tenais au début se tient donc pour un niveau première. (Je pouvais aussi appliquer la formule Un+1 - Un. Si j'obtenais une quantité constante r, la suite était arithmétique. Sinon, elle ne l'était pas. )

Je termine la première partie de l'exercice :

1. b) Si j'ai bien compris la question, il s'agit d'appliquer les définitions des suites géométriques ou arithmétiques aux suites Vn et Un. Mais dans ce cas, il faut trouver la nature de Un, non?

Pour Vn, cela donnerait donc :
Soit Vn, suite géométrique (prouvé précédemment) de raison 1/3.
Vn = V0 + 1/3n


c) Les notions de divergences et de convergences sont vues dans le cadre des limites de suite non?
Dans ce cas, Un doit être une suite géométrique, car les deux possibilités d'une suite arithmétique sont : Divergeant vers - l'infini si r<0 et vers +l'infini si r>0.
Est-ce bien ça?

Quelle est la démarche à suivre pour répondre à cette question?

Merci

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Anto,

Question 1b : C'est faux pour Vn. Tu confonds arithmétique et géométrique ....

Question 1C : Attention (Un) n'est ni géométrique ni arithmétique !
NB : On sait déterminer les limites des suites définies en fonction de n. C'est la même méthode que pour les fonctions.

SoSMath.