les nombres premiers

[Mathéo]

Bonjour
Ma prof de math. nous a donné l'exemple suivant:
chercher les diviseurs de 63 puis ceux de 64 et ensuite leur PGCD.
On a corrigé: pour 63 on a : 1;3;7;9;21; 63
pour 64: 1;2;4;8;16;32 ;64
le PGCD (63;64) = 1 les nombres 63 et 64 sont premiers entre eux.

puis elle nous a demandé est ce que deux nombres entiers qui se suivent sont toujours premiers entre eux?
et là je sèche!!!
aidez moi merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Mathéo,

Tu dois essayer de trouver deux nombres entiers qui ne sont pas premiers entre eux et qui se suivent.
Ils ont donc un diviseur commun autre que un, donc ils sont dans la même table de multiplication autre que la table de 1.

A toi de continuer.

[Mathéo]

Bonjour Mathéo,

Tu dois essayer de trouver deux nombres entiers qui ne sont pas premiers entre eux et qui se suivent.
Ils ont donc un diviseur commun autre que un, donc ils sont dans la même table de multiplication autre que la table de 1.

A toi de continuer.

Bonsoir
Merci, mais sa m'aide pas trop. C'était ma question comment faire?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Mathéo,

C'est parfois difficile d'aider les élèves sans leur donner la réponse.

Si tu récites tes tables de multiplication, connais-tu des nombres qui se suivent?

A bientôt.

[Mathéo]

Re bonsoir
voilà mes tables mais je comprends pas ce que vous vouler dire

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

[SoS-Math(1)]

Bonsoir Mathéo,

Je n'en demandais pas tant.
Tous les nombres de la première table sont divisibles par 2. Si j'en choisis deux, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
Dans cette table, y en a-t-il deux qui se suivent?

Ce que j'ai dit pour la table de 2, je peux le dire pour les autres tables.

Autrement dit, imaginons que nous ayons deux nombres consécutifs qui ne soient pas premiers entre eux. Cela signifie qu'ils ont un diviseur commun autre que 1. Donc ils sont dans la même table! et ils se suivent! Est-ce possible?

A bientôt.

[Mathéo]

bonsoir
à votre question je vois pas !!!!
est ce qu'il ya une démonstration mathématique?? pas d'exemple??
merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Mathéo,

Je tentais de te l'expliquer simplement.
On peut le démontrer.
On va raisonner par l'absurde.
Supposons qu'il existe deux entiers consécutifs qui ne soient pas premiers entre eux.
J'appellerai le plus petit \(n\). Le plus grand sera donc \(n+1\) puisqu'il suit \(n\).
J'ai supposé qu'ils n'étaient pas premiers entre eux, donc ils ont un diviseur commun autre que 1 que j'appellerai \(d\).
\(n\) et \(n+1\) sont donc dans la table de \(d\) qui est plus grand ou égal à 2.
Cela signifie qu'il existe deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \(n=ad\) et \(n+1=bd\) de plus \(b>a\).
On peut donc écrire \(ad+1=bd\).
Ou encore \(bd-ad=1\), ou encore \((b-a)d=1\).
Cette dernière égalité n'est pas possible...
A toi d'en tirer une conclusion.

A bientôt.