Devoir Maison

[Marion]

Bonsoir, j'ai un devoir maison à faire, et je ne sais pas comment m'y prendre pour certaines questions, pourriez-vous m'aider ? Et il y a aussi des questions que j'ai faites, mais j'aimerai que vous me disiez si je suis à un peu près sur la voie ou pas du tout. Merci d'avance !
J'ai joins les figures et l'énoncé mais comme il n'est pas très visible, donc le voici :

EXERCICE 1

Soit ABCD un rectangle. Le point E appartient au segment [AB] tel que AE = \(\frac{2}{3}\)AB et le point F appartient au segment [BC] tel que BF = \(\frac{1}{3}\)BC.

Méthode 1 : solution analytique
1. Dans le repère (A ; vecteur AB ; vecteur AD), quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D, E et F ?
2. Démontrer que les vecteurs AC et EF sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?

Méthode 2 : solution vectorielle
Démontrer que vecteur EF = \(\frac{1}{3}\). Que peut-on en déduire ?

Méthode 3 : solution utilisant les configurations
En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.

EXERCICE 2

Soit ABCD un parallélogramme de centre O.
Soit I un point du segment [AB] distinct de A et de B.
On désigne par J le point du segment [CD] tel que : CJ = AI
On veut démontrer que O est le milieu du segment [IJ]

Méthode 1 : solution utilisant les configurations
1. Démontrer que AICJ est un parallélogramme.
2. En déduire que O est le milieu de [IJ]

Méthode 2 : solution vectorielle
1.Déterminer deux vecteurs égaux respectivement aux vecteurs AI et OA. Justifier.
2.En déduire un vecteur égal au vecteur OI.

Méthode 3 : solution analytique
1.On désigne par a l'abscisse du point I dans le repère (A ; vecteur AB ; vecteur AD), quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D et O ?
En déduire les coordonnées du vecteur CJ, puis celles du point J.
2.Démontrer que O est le milieu de [IJ].


Voici ce que j'ai fais pour l'exercice 1 :
Méthode 1
1. A(0,0)
B(1,0)
C(1,1)
D(0,1)
E(\(\frac{2}{3}\),0)
F(1,\(\frac{1}{3}\))

2. On calcule les coordonnées des vecteurs AC et EF :
vecteur AC(xc - xa) <=> vecteur AC (1-0) <=> vecteur AC (1)
(yc - ya) (1-0) (1)

vecteur EF (xf - xe) <=> vecteur EF (1-\(\frac{2}{3}\)) <=> vecteur EF (\(\frac{1}{3}\))
(yf - ye) (\(\frac{1}{3}\))-0) (\(\frac{1}{3}\))

On utilise les produits en croix : 1 x \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\) et 1 x \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
Les produits en croix sont égaux. Les vecteurs AC t EF sont colinéaires, donc les droites (AC) et (EF) sont parallèles.

Méthode 2
(Toutes les lettres qui suivent sont des vecteurs)
EF= EB + BF = EB + \(\frac{1}{3}\)BC = \(\frac{1}{3}\)AB + \(\frac{1}{3}\)BC = \(\frac{1}{3}\)(AB + BC) = \(\frac{1}{3}\)AC

Méthode 3
Si \(\frac{BF}{BC}\) = \(\frac{BE}{BA}\) et si les points B, F, C et les points B, E, A sont alignés dans le même ordre alors les droites (EF) et (CA) sont parallèles.

Voici ce que j'ai fais pour l'exercice 2 :
Méthode 1
1. Si vecteur JC = vecteur IA alors AJCJ est un parallélogramme.
2. Je ne vois pas comment déduire que O est le milieu de [IJ]..

Méthode 2
1.vecteur AI = vecteur JC puisque CJ = AI
2.vecteur OI = OJ

Méthode 3
1. A(0,0)
B(1,0)
C(1,1)
D(0,1)
Et par contre, je n'arrive pas à trouver les coordonnées des points O et J.. Ni en déduire les coordonnées du vecteur CJ et du point J...
Et encore moins démontrer que O est le milieu de [IJ]..

Pourriez me mettre sur la voie sur les questions que je n'arrive pas à faire, s'il vous plait ?

Je vous remercie d'avance.
Bonne soirée !

Marion

[SoS-Math(7)]

Bonjour Marion,

Ce que tu as fait pour l'exercice 1 est quasi juste. Pour la méthode 3, tu as mis en avant ce qu'il fallait pour pouvoir utiliser la réciproque du théorème de Thalès, il faut maintenant démontrer que les rapports sont effectivement égaux...

Exercice 2
Méthode 1 : ce que tu proposes utilise les vecteurs. Ce n'est donc pas ce qui est demandé dans cette partie... Ici, il faut démontrer que AICJ est un parallélogramme en utilisant les propriétés de géométrie plane. Que sais-tu des droites (CJ) et (AI) ? Que sais-tu des longueurs CJ et AI ?
Pour conclure, que sais-tu des diagonales d'un parallélogramme ?

Méthode 2 : tu ne réponds pas aux questions posées. Effectivement, \(\vec{AI}=\vec{JC}\) et que peux-tu dire de \(\vec{OA}\) ?
Ces deux égalités vont te permettre de démontrer que \(\vec{OI}=\vec{JO}\)

Méthode 3
ABCD est un parallélogramme, que peux-tu donc dire du point O ? Cette information te permettra de calculer les coordonnées de O.
I(a ; 0) et A(0;0) donc tu peux calculer les coordonnées de \(\vec{IA}\), c'est à dire les coordonnées de \(\vec{CJ}\). Je te laisse réfléchir pour trouver les coordonnées de J.
Je pense que tu as assez de travail dans un premier temps.

Bon courage.

[Marion]

Bonsoir,

Pour l'exercice 1, la méthode 3, je ne sais pas par quoi remplacer BF, BC, BE et BA, puisque dans l'énoncé, il n'y a aucune mesures..

Pour l'exercice 2, la méthode 1 je sais que les droites (CJ) et (AI) sont parallèles, puisque le point J appartient au segment [DC] et que le point I appartient au segment [AB], et qu'ABCD est un parallélogramme, et les cotés opposés d'un parallélogramme sont parallèles. Je sais que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Pour la méthode 2, le vecteur \vec{OA} est égal \vec{OD}, \vec{OC} et \vec{OB} ?

Merci de votre réponse.

Marion

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

En fait, dans l'exercice 1, il faut calculer \(\frac{BF}{BC}\) et \(\frac{BE}{BA}\) à partir de la relation \(BF=\frac{1}{3}BC\) et ... Je te laisse réfléchir.

Exercice 2, oui les côtés (CJ) et (AI) sont parallèles. Regarde les longueurs de ces côtés, cela devrait te permettre de conclure que CJAI est un parallélogramme. La propriété que tu as données sur les diagonales te permettra de démontrer le résultat cherché.
Tu as écris des erreurs, regarde bien la figure, que sais-tu du point O, quel vecteur est égal à \(\vec{OA}\) ?

Bon courage.

[Marion]

Bonsoir,

BF = 1/3 BC et BC = 3/3 BF

C'est le vecteur AI qui est égal au vecteur OA.

Merci
Marion

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Oui, BF = 1/3 BC donc BF/BC=1/3 et BC = 3/3 BF donc BC/BF=1/3. Ainsi BF/BC=BC/BF.

Pour les vecteurs, c'est également juste, il ne te reste plus qu'à conclure.

Bonne continuation.

[Marion]

Bonjour,

Merci beaucoup de votre aide !

A bientôt,
Marion