Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exercice urgent à rendre.
ABCD est un parallélogramme. E et F sont les points tels que vecteur BE = 1/2 du vecteur AB et que vecteur AF = 3 fois vecteur AD.
Démontrer que: vecteur CE = 1/2 du vecteur AB + vecteur DA et que vecteur EF = 3/2 du vecteur BA + 3 fois vecteur AD
Puis en déduire que les points C, E, F sont alignés.
Merci d'avance :)
Exercice sur vecteurs
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Exercice sur vecteurs
Bonjour,
d'après tes données, tu as \(\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AB}\), et \(\vec{AF}=3\vec{AD}\)
En partant de \(\vec{CE}=\vec{CA}+\vec{AE}\) (chasles), et en disant que \(\vec{CA}=\vec{CD}+\vec{CB}\)(relation dans un parallélogramme : somme de deux vecteurs de même origine. Puis étant dans un parallélogramme, on a \(\vec{CD}=\vec{BA}\), et \(\vec{CB}=\vec{DA}\)
Donc en réinjectant dans \(\vec{CE}=\vec{CA}+\vec{AE}\), on a \(\vec{CE}=\vec{BA}+\vec{DA}+\frac{3}{2}\vec{AB}\) : à toi de simplifier.
Pour l'autre, c'est encore plus simple : pars de \(\vec{EF}=\vec{EA}+\vec{AF}\) et utilise les données.
Ensuite, à partir de ces décompositions des deux vecteurs \(\vec{CE}\) et \(\vec{EF}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\), tu dois avoir :
\(\vec{EF}={-3}\vec{CE}\) (regarde sur les coefficients), cela prouvera que tes vecteurs sont colinéaires donc que les droites (EC) et (EF) sont parallèles et comme elles ont un point commun....
d'après tes données, tu as \(\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AB}\), et \(\vec{AF}=3\vec{AD}\)
En partant de \(\vec{CE}=\vec{CA}+\vec{AE}\) (chasles), et en disant que \(\vec{CA}=\vec{CD}+\vec{CB}\)(relation dans un parallélogramme : somme de deux vecteurs de même origine. Puis étant dans un parallélogramme, on a \(\vec{CD}=\vec{BA}\), et \(\vec{CB}=\vec{DA}\)
Donc en réinjectant dans \(\vec{CE}=\vec{CA}+\vec{AE}\), on a \(\vec{CE}=\vec{BA}+\vec{DA}+\frac{3}{2}\vec{AB}\) : à toi de simplifier.
Pour l'autre, c'est encore plus simple : pars de \(\vec{EF}=\vec{EA}+\vec{AF}\) et utilise les données.
Ensuite, à partir de ces décompositions des deux vecteurs \(\vec{CE}\) et \(\vec{EF}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\), tu dois avoir :
\(\vec{EF}={-3}\vec{CE}\) (regarde sur les coefficients), cela prouvera que tes vecteurs sont colinéaires donc que les droites (EC) et (EF) sont parallèles et comme elles ont un point commun....
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Kiki
Re: Exercice sur vecteurs
Merci pour votre aide ! :D