Exponentielle

[alexis]

Bonjour,
J'ai un exercice que je ne comprend pas je n'ai jamais réussi a dériver les exponentielles,
L'exercices:
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur IR par:
F(x)=e(²x) (e^x-2)²
1)On désigne par f' la fonction de f
a) démontrer que, pour tout réel x on a
f'(x)=4e^(2x)(e^(x)-1)(e(^x)-2)
b) etudier les sens de variations de f et dresser le tableau de variation de f
Merci de votre aides

[SoS-Math(1)]

Bonjour Alexis,

Vous devez savoir que:

\((fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}\)

\((e^u)^{\prime}=u^{\prime}e^u\)

\((u^2)^{\prime}=2u^{\prime}u\)

Bon courage pour dériver cette fonction en utilisant toutes ces indications.

A bientôt.

[alexis]

Merci pour cette aide mais je vois pas ce que je dois remplacer

[SoS-Math(1)]

Bonjour Alexis,

Ici, vous aurez \(f(x)=e^{2x}\) et \(g(x)=(e^x-2)^2\).

A bientôt.

[alexis]

Bonjours pour F'(x) j'ai trouvé 2e^(2x)
et pour g'(x) j'ai trouvé (e^(x))²
mais je ne crois pas que c'est ça

[SoS-Math(1)]

Bonjour Alexis,

Tu as raison pour \(f^{\prime}\), on a bien \(f^{\prime}(x)=2e^{2x}\)

Par contre, tu t'es trompé pour \(g^{\prime}\).
On a \(g^{\prime}(x)=2e^x(e^x-2)\).

Maintenant, il faut recoller les morceaux, c'est-à-dire dériver la fonction \(fg\).

A bientôt.

[alexis]

Bonjours,

Merci j'ai bien trouver ce qu'il m'était demandé.
Par contre pour le b) je dois faire comment déja me servir de la dérivée mais après

[sos-math(21)]

Bonjour,
Si tu as ta fonction dérivée f'(x)=4e^(2x)(e^(x)-1)(e(^x)-2) qui est sous la forme d'un produit.
Il faut donc faire un tableau de signes avec une ligne pour chaque facteur.
Pour étudier le signe de \(e^x-2\), par exemple, il faut résoudre \(e^x-2>0\), ce qui donne \(e^x>2\) soit en passant au logarithme qui est une fonction croissante : \(\ln(e^x)>\ln(2)\) donc \(x>\ln(2)\) et tu places ensuite ton \(\ln(2)\) dans ton tableau puis les signes correspondants..
Fais de même pour les autres facteurs.

[alexis]

pour (e^(x)-1) je trouve ln(1)
mais pour (4e^(2x)) je dois aussi trouver le ln?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Alexis,

attention à être précis si tu veux que l'on comprenne ...

Tu veux dire, pour "(e^(x)-1) je trouve ln(1), que pour "(e^(x)-1) = 0 je trouve x= ln(1)" ? Dans ce cas c'est exact ! (NB ln(1) = 0 ...)

Connais-tu le signe de la fonction exponentielle ? Cela doit te permettre de trouver le signe de 4e^(2x).

SoSMath.

[alexis]

excusez moi pour mon manque de précision. mais c'st bon j'ai compris et j'ai même fini
Je vous remercies pour votre aide.

Cordialement alexis

[SoS-Math(9)]

A bientôt Alexis,
SoSMath.